考研真题

在上题条件下，若 $A$ 相似于对角矩阵，证明：线性变换 $\sigma$ 在 $V$ 的某组基下的矩阵也是对角矩阵。

设 $V=M_{2\times 2}(\mathbb{P})$⁠， $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),\sigma (X)=AX.$ 求 $\sigma$ 在基 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ 下的矩阵。

在上题条件下，证明 ${\mathbb{R}}^n=V_1\oplus V_2,$ 其中 $V_1=\{X:(A+I)X=0\},V_2=\{X:(A-I)X=0\}.$

在上题条件下，证明 $A$ 与对角矩阵相似。

设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$A^2=I$⁠。证明 $r(A+I)+r(A-I)=n.$

设 ${\alpha }_i=a_i(1,1,\dots ,1{)}^T+b{e}_i,i=1,\dots ,n,$ 其中 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i\ne 0$⁠，并令 $W=L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n).$ 求 $W$ 的维数与一组基。

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求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 4& 1\\ -3& -6& -1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准形 $J$⁠，并求可逆矩阵 $T$⁠，使 $T^{-1}AT=J$⁠。

已知实二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2)+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 可经正交替换 $X=TY$ 化为标准形 $f=b{y}_1^2+c{y}_2^2,b,c\ne 0.$ 求 $a,b,c$⁠，并写出一个正交替换及标准形。

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$n>1$⁠。若对任意 $n$ 阶矩阵 $B$ 都有 $|A+B|=|A|+|B|,$ 证明 $A=O$⁠。

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设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& b\end{array}\right).$ 求所有使得存在矩阵 $C$ 满足 $AC-CA=B$ 的 $a,b$⁠，并求所有这样的矩阵 $C$⁠。

若实系数多项式 $f(x)$ 满足 $f(2x^2+1)=2f^2(x)+1,\forall x\in \mathbb{R},f(0)=0,$ 证明 $f(x)=x$⁠。

设 $\sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且有 $n$ 个互不相同的特征值。求 $V$ 的所有 $\sigma$-不变子空间的个数。