考研真题

已知 $f(x,y)$ 在 $x^2+y^2<1$ 上三阶连续可导，且 $f(0,0)=0$⁠。证明存在二阶连续可微函数 $g_1,g_2$⁠，使 $f(x,y)=x{g}_1(x,y)+y{g}_2(x,y).$

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若 $\alpha >0$⁠，判断函数项级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-nx}$ 在 $(0,+\infty )$ 上是否一致收敛。

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已知 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，并满足 ${\int }_a^b{x}^{i}f(x)dx=0,i=0,1,2.$ 证明存在三个不同的 $x_1,x_2,x_3\in (a,b)$⁠，使 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0$⁠。

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设 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上二阶可微，$f(x)>0$⁠，且 $M={\sup }_{x\in \mathbb{R}}|f^{\prime \prime }(x)|<+\infty .$ 证明 $[f^{\prime }(x){]}^2\le 2Mf(x),x\in \mathbb{R}.$

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已知 $p,q>0$ 且 $1/p+1/q=1$⁠。证明对任意正数 $x_1,x_2$⁠， $x_1^{1/p}{x}_2^{1/q}\le \frac{x_1}{p}+\frac{x_2}{q}.$

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已知 $\phi (t)={\int }_0^{+\infty }\frac{\ln (1+tx)}{x(1+x)}dx,$ 求 $\phi (1)$⁠。

设 $\Sigma$ 是曲线 $y=\sqrt{x}$($0\le x\le 1$)绕 $x$ 轴旋转形成的曲面，法向量与 $x$ 轴正方向成钝角。求 $I={\iint }_{\Sigma }2(x+y)dydz+yzdxdy.$

区域 $D$ 由 $x=0$⁠、$y=\pi /2$⁠、$x=y^2$ 围成，求 ${\iint }_D\frac{\sin y}{y}dxdy.$

设 $I_n={\int }_0^{\pi /4}(\sin x{)}^n\cos xdx,$ 求 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{I}_n$⁠。

已知 $\sin (xy)+2y^2=1,$ 求 $dy/dx$⁠。

求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\cos \frac{\pi }{2^2}\cos \frac{\pi }{2^3}\cdots \cos \frac{\pi }{2^n}.$

复数域上全体二元二次型构成空间 $V=\{c_0{x}^2+c_{1}xy+c_2{y}^2\}.$ 给定 $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$⁠，定义 ${\phi }_M(q)(x,y)=q(ax+by,cx+dy).$ 1. 证明 ${\phi }_M$ 有特征值 $\det M$⁠；并在 $M=J_2(\mu )$...

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