考研真题

设 $A,B$ 均为可逆四阶方阵，且 $A$ 每行元素之和为 $2$⁠，$B$ 每行元素之和为 $3$⁠。求 $A^{-1}B+B^{-1}A$ 每行元素之和。

计算 ${\left(\begin{array}{cc}{O}_{3\times 2}& E_3\\ E_2& O_{2\times 3}\end{array}\right)}^2.$

设 $f(x)=x^2$⁠，$x\in [-\pi ,\pi ]$⁠。 (1) 求 $f$ 的 Fourier 级数； (2) 求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}$⁠。

计算 ${\iiint }_{\Omega }{e}^{3z^2-z^3}dxdydz,\Omega :x^2+y^2+z^2\le 2z.$

设 $f\in C^1[a,b]$⁠，且 $f(a)=0$⁠。证明 ${\int }_a^b{f}^2(x)dx\le \frac{(b-a{)}^2}{2}{\int }_a^b[f^{\prime }(x){]}^{2}dx.$

设 $f_1$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数，$x_0\in [a,b]$⁠，且 $f_{n+1}(x)={\int }_{x_0}^x{f}_n(t)dt.$ 讨论 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上的一致收敛性，并求极限函数。

判断级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(2024n{)}^n}{2025^{n}n!}$ 的敛散性。

设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵。 (1) 判断 $\mathrm{tr}(AB)$ 是否等于 $\mathrm{tr}(BA)$⁠； (2) 若 $A,B,A-B$ 均正定，证明 $\mathrm{tr}(A^2-B^2)>0.$

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵。 (1) 证明存在 $n\times m$ 矩阵 $B$⁠，使 $ABA=A$⁠、$BAB=B$⁠。 (2) 若 $B$ 满足上述关系，记 $K(A)=\{X\in {\mathbb{P}}^n:AX=0\},R(B)=\{BY:Y\in {\mathbb{P}}^m\},$ 证明...

若 $n$ 阶可逆方阵 $A,B$ 满足 $(A+B{)}^{-1}=A^{-1}+B^{-1},$ (1) 证明 $|A+B{|}^2=|A||B|$⁠； (2) 当 $A,B$ 为实矩阵时，证明 $|A|=|B|$⁠； (3) 当 $A,B$ 为复矩阵时，判断 $|A|=|B|$ 是否成立。

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设 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换 $f$ 满足 $f(\alpha )=a\alpha -b(\alpha ,\eta )\eta ,\Vert \eta \Vert =\sqrt{3}.$ 问 $a,b$ 取何值时 $f$ 为正交变换？

设多项式 $f(x)$ 无重因式，$f^{\prime }(x)$ 是 $f(x)$ 的微商，$A$ 是三阶方阵。求 $r\left(\begin{array}{c}f(A)\\ f^{\prime }(A)\end{array}\right).$