考研真题

设数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆，并按行分块为 $A=\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right).$ 记 $V_1,V_2$ 分别为 $A_{1}X=0$⁠、$A_{2}X=0$ 的解空间。证明 ${\mathbb{F}}^n=V_1\oplus V_2.$

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵。证明存在一个次数不超过 $n-1$ 的多项式 $g(x)$⁠，使 $A^{-1}=g(A).$

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}k& 1& 1\\ 0& k-1& 0\\ 1& 1& k\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 1\end{array}\right).$ 已知 $AX=\beta$ 有无穷多解。 (1) 求 $k,a$⁠； (2) 求通解。

设三阶方阵满足 $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 9& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),|A|>0,$ 且 $AB{A}^{-1}=B{A}^{-1}+2I.$ 求 $B$⁠。

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=a{x}_1^2+a{x}_2^2+(a-1)x_3^2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3$ 是正惯性指数为 $2$ 的非正定型。求 $a$⁠。

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若 $2024$ 阶方阵 $A$ 的最小多项式为 $(\lambda -1)(\lambda -2{)}^{2021},$ 求互不相似的 Jordan 标准形种数。

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设 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征值全为 $2$⁠，且只有一个线性无关的特征向量。求 $A$ 的行列式因子。

设 $A$ 为四阶方阵，且 $\mathrm{tr}(A^i)=4(i=1,2,3,4).$ 求 $|A|$⁠。

设 $g(x)=x^2-4x+a$⁠。若存在唯一的首一三次多项式 $f(x)$⁠，使 $g(x)\mid f(x)$ 且 $f(x)\mid g^2(x)$⁠，求 $f(x)$⁠。

设 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 与 ${\eta }_1,{\eta }_2$ 分别为线性空间 $V,W$ 的一组基。线性映射 $\phi :V\to W$ 满足...

设 $V=V_1\oplus V_2$⁠，$0\ne \alpha \in V$⁠。令 $U_1=V_1+⟨\alpha ⟩,U_2=V_2+⟨\alpha ⟩.$ 求 $\dim (U_1+U_2)$⁠。

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，方程组 $AX=0$⁠、$BX=0$ 的解空间分别有 $k$⁠、$m$ 个线性无关解向量，且 $k+m>n$⁠。判断 $(A+B)X=0$ 是否有非零解。