考研真题

证明下列两命题等价： 1. 实方阵 $A$ 是正交矩阵； 2. $\det A=\pm 1$⁠，且当 $\det A=1$ 时，$A$ 的每个元素等于其代数余子式；当 $\det A=-1$ 时，每个元素等于其代数余子式的相反数。

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 实矩阵。证明：若 $\mathrm{rank}B=m$⁠，则 $B^{T}AB$ 为正定矩阵。

设 $A$ 为 $n$ 阶可逆反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 维列向量， $B=\left(\begin{array}{cc}A& b\\ b^T& 0\end{array}\right).$ 证明： 1. $n$ 为偶数； 2. $\mathrm{rank}B=n$⁠。

设齐次线性方程组 $Ax=0$ 的系数矩阵 $A=(a_{ij})$ 为 $(n-1)\times n$ 矩阵。令 $X_0=(x_{10},\dots ,x_{n0}{)}^T$⁠，其中 $x_{i0}$ 是删去第 $i$ 列所得 $(n-1)$ 阶子式乘以符号 $(-1{)}^{i+1}$⁠。证明 $X_0$ 是方程组的解；且若...

设 $u(x,y,z)$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 上的连续函数，并在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的某邻域内有连续二阶偏导数。令 ${\Sigma }_R$ 为以该点为球心、半径为 $R$ 的球面，并定义 $T(R)=\frac{1}{4\pi R^2}{\iint }_{{\Sigma }_R}u(x,y,z)dS.$ 证明： 1....

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设 $u_n(x)=x^n\ln x,x\in (0,1].$ 讨论级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 在 $(0,1]$ 上的收敛性与一致收敛性，并计算 ${\int }_0^1{\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)dx.$

设 $f(x)=\frac{1}{1-x^2}.$ 1. 求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left[f\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-f\left(1-\frac{1}{n}\right)\right]$⁠； 2. 证明 $f$ 在 $[0,1)$ 上不一致连续。

设非负连续函数 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递减。证明 $F(x)={\int }_0^x(x-2t)f(t)dt$ 是 $[0,+\infty )$ 上的凸函数。

设 $f(x,y)=\phi (|xy|)$⁠，并且在 $u=0$ 的附近满足 $|\phi (u)|\le u^2.$ 证明 $f$ 在 $(0,0)$ 处可微。

设 $f$ 在 $(0,1)$ 上可导，且 $f^{\prime }$ 在 $(0,1)$ 上有界。证明 $f$ 在 $(0,1)$ 上有界且一致连续。

若 $F(t)={\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le t^2}f(x^2+y^2+z^2)dxdydz,t>0,$ 其中 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上可微函数。 1. 计算 $F^{\prime }(t)$⁠； 2. 若 $f(0)=0$⁠，计算...

计算 ${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx.$