考研真题

对 $n$ 阶实对称矩阵 $A$⁠，存在 $Y\in {\mathbb{R}}^n$ 使 $Y^{T}AY>0$⁠。证明：对任意 $X\in {\mathbb{R}}^n$⁠，恒有 $(X^{T}AY{)}^2\ge (X^{T}AX)(Y^{T}AY)$ 的充分必要条件是二次型 $X^{T}AX$ 的正惯性指数不超过 $1$⁠。

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给定向量组 ${\alpha }_1=(1,2,1,0),{\alpha }_2=(-1,1,1,1),{\alpha }_3=(0,3,2,1),$ ${\beta }_1=(2,-1,0,1),{\beta }_2=(1,-1,3,7).$ 记...

求解线性方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+\cdots +n{x}_n=n+1,\\ x_1+2^2{x}_2+\cdots +n^2{x}_n=(n+1{)}^2,\\ ⋮\\ x_1+2^n{x}_2+\cdots +n^n{x}_n=(n+1{)}^n.\end{array}$

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设非零多项式 $f(x),g(x)\in \mathbb{K}[x]$⁠，正整数 $k$ 满足 $(k+1)\mathrm{deg}g(x)>\mathrm{deg}f(x)\ge k\mathrm{deg}g(x).$ 证明存在 $p_0(x),p_1(x),\dots ,p_k(x)\in \mathbb{K}[x]$⁠，满足 $\mathrm{deg}{p}_i(x)<\mathrm{deg}g(x)$ 或...

计算 $I={\iint }_{\Sigma }4xzdydz-2yzdzdx+(1-z^2)dxdy,$ 其中 $\Sigma$ 是曲线 $z=e^y,0\le y\le a,$ 绕 $z$ 轴旋转一周生成的曲面，取下侧。

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证明：当 $x\to a$ 时，$f(x,y)$ 一致收敛于 $\phi (y)$ 的充要条件是：对任意满足 $x_n\to a$ 的数列 $\{x_n\}$⁠，函数列 $f(x_n,y)$ 一致收敛于 $\phi (y)$⁠。

已知 ${\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx=1,{\int }_0^1{x}^{k}f(x)dx=0(k=0,1,\dots ,n-1).$ 证明 ${\max }_{x\in [0,1]}|f(x)|\ge 2^n(n+1).$

设 $f$ 在 $(a,b)$ 上可导。任取 $x_1,x_2\in (a,b)$⁠，若 $f^{\prime }(x_1)f^{\prime }(x_2)<0,$ 证明至少存在一点 $\xi$ 介于 $x_1,x_2$ 之间，使 $f^{\prime }(\xi )=0.$

讨论级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin (nx)}{n^p},p\in \mathbb{R},$ 的敛散性。

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解答下列问题： (1) 若 $0<\eta <1$⁠，证明 $f(x)=\sin \frac{1}{x^2}$ 在 $(\eta ,1)$ 上一致连续； (2) 证明该函数在 $(0,1)$ 上不一致连续。

设 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的连续函数。若 ${\lim }_{|x|\to +\infty }f(x)=+\infty ,$ 证明存在 $x_0\in \mathbb{R}$⁠，使 $f(x_0)$ 取得 ${\inf }_{x\in \mathbb{R}}f(x).$

已知 $\{a_n\}$ 是无界数列，但不是无穷大量。证明：$\{a_n\}$ 存在两个子列，一个是收敛数列，另一个是无穷大量。