考研真题

设 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ 满足：存在 $L>0$⁠、$\alpha \in (0,1)$⁠，使对任意 $x,y\in (0,1)$⁠，始终有 $|f(x)-f(y)|\le L|x-y{|}^{\alpha }.$ (1) 证明 $f$ 在 $(0,1)$ 上连续； (2) 证明 $f$ 在 $(0,1)$...

证明：若函数 $u=f(x,y)$ 满足拉普拉斯方程 $u_{xx}+u_{yy}=0,$ 则函数 $v(x,y)=f(x-\sqrt{3}y,\sqrt{3}x+y)$ 也满足拉普拉斯方程。

求由方程 $x^2+2xy+2y^2=1$ 所确定的隐函数的极值。

计算参数曲线 $x=e^t\cos t,y=e^t\sin t,t\in [0,\pi ]$ 的长度。

证明函数 $f(x)=\frac{x}{1+x^4}$ 在实数域 $\mathbb{R}$ 上有界且一致连续。

确定级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{2n+1}{3^{n+2}}{x}^{2n}$ 的收敛域，并计算其在收敛域内的和函数。

计算下列各题： (1) ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sin (\tan x)-\tan (\sin x)}{{\sin }^{4}x};$ (2) ${\int }_0^2\frac{dx}{e^x+e^{-x}};$ (3)...

设 $\mathcal{A}$ 为数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，令 $V_1=\{\alpha \in V$:\text{存在正整数 }r\text{ 使 }\mathcal A^r\alpha=0\}, ...

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实矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 满足 $a_{ii}>0,a_{ij}=-a_{ji}(i\ne j).$ 证明 $\det A>0.$

设 $A,B$ 均为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵。证明： (1) $A$ 在 $\mathbb{K}$ 上可相似上三角化的充分必要条件是 $A$ 的所有复特征值都属于 $\mathbb{K}$⁠； (2) 若 $A,B$ 均可相似上三角化，且 $AB=BA$⁠，则二者可同时相似上三角化； (3) 若...

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设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $\det A=0$⁠。证明： $r(A)=n-1$ 当且仅当存在列向量 $X,Y\in {\mathbb{R}}^n$⁠，使 $\det (A+X{Y}^T)\ne 0.$

设 $V={\mathbb{R}}^{2\times 2}$⁠，线性变换 $\phi (X)=A^{T}XA,A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$ 求 $V$ 的一组基，使 $\phi$ 在这组基下的矩阵为 Jordan 标准形。

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