考研真题

设 $f(x)$ 是定义在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的凸函数且有上界。证明 $f(x)$ 为常数。

计算曲面积分 $I={\iint }_S\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2{)}^3}},$ 其中 $S$ 为椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}+\frac{z^2}{4}=1$ 的外侧。

设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续。证明：存在 $a,b>0$⁠，使 $|f(x)|\le a|x|+b.$

设 $n$ 为正整数，$x,y>0$⁠。用条件极值方法证明 $\frac{x^n+y^n}{2}\ge {\left(\frac{x+y}{2}\right)}^n.$

设 $b>a>0$⁠，计算 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\cos ax-\cos bx}{x^2}dx.$

证明：若 $f$ 是区间 $[a,b]$ 上只有有限个间断点的有界函数，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。

试用确界原理证明有限覆盖定理。

解答下列问题： (1) 求极限 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{x^x-x^{\sin x}}{x^2};$ (2) 求级数的和 ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(n-1)3^n}.$

用极限的严格数学定义证明： (1) ${\lim }_{x\to -\infty }\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=0;$ (2) ${\lim }_{n\to \infty }\frac{e^n}{n!}=0.$

设 $A,B\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$⁠。已知 $A+B,A+2B,A+3B,A+4B$ 均为幂零矩阵。证明 $A,B$ 都是幂零矩阵。

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设 $A$ 为 $3\times 2$ 复矩阵，$B$ 为 $2\times 3$ 复矩阵，且 $AB=\left(\begin{array}{ccc}8& 2& -2\\ 2& 5& 4\\ -2& 4& 5\end{array}\right).$ 求 $BA$⁠。

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设 $n\ge 2$⁠，$A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$⁠，且 $A^2=-I_n,AB=BA.$ 证明 $\det (B)\ge 0.$

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