考研真题

求 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1\ln (1+x^n)dx.$

在空间直角坐标系中，设单叶双曲面 $S$ 的一般方程为 $x^2+\frac{y^2}{4}-\frac{z^2}{9}=1.$ 证明：存在经过 $y$ 轴的平面，使该平面与 $S$ 的截线为“长轴长与短轴长之比为 $\sqrt{3}$ 的椭圆”，并求出所有满足条件的平面。

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在空间直角坐标系中，求二次曲面 $x^2+2xy-3y^2=2z$ 上经过点 $(1,-1,-2)$ 的所有法线的标准方程。

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设 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ 是几何空间中的四个向量。证明： $(\alpha \times \beta )\cdot (\gamma \times \delta )-(\alpha \times \gamma )\cdot (\beta \times \delta )-(\delta \times \alpha )\cdot (\beta \times \gamma )=0.$ ...

设 $V$ 是 $n$ 维复向量空间，$n\ge 2$⁠，$\sigma ,\tau$ 是 $V$ 上的线性变换。假设 $\sigma$ 可对角化，$\tau$ 是幂零变换，且 $\sigma \tau =\tau \sigma .$ (1) 证明 $\sigma$ 与 $\sigma +\tau$ 的特征多项式相同； (2)...

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设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$n\ge 2$⁠，$\sigma$ 是 $V$ 的对称变换。记 $L=\{\tau \in \mathrm{End}(V):\sigma \tau =\tau \sigma \}.$ 证明： $\dim L=n$ 当且仅当 $\sigma$ 的每个特征子空间都是一维的。

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设 $A,B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵。证明下列叙述等价： (1) 对任意正整数 $m,k$⁠，矩阵 $mA+kB$ 都是正定矩阵； (2) $A,B$ 都是半正定矩阵，且方程组 $AX=0$ 与 $BX=0$ 的解空间之交为零空间。

设 $V$ 是数域 $\Omega$ 上的 $n$ 维向量空间，$n\ge 2$⁠，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换。证明：存在 $V$ 上的线性变换 $\tau$⁠，使得 $\dim \sigma (V)=\dim \ker \tau ,\sigma \tau =\tau \sigma =0.$

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设 $f(x),g(x)$ 都是数域 $\Omega$ 上的首一多项式，且满足 $(f^{2024},g^{2025})=(f^{2025},g^{2024}),$ 其中括号表示首一最大公因式。证明：对任意正整数 $m,n$⁠，有 $(f^m,g^n)=(f^n,g^m).$

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解答下列问题： (1) 证明：$f(x)$ 在有界开区间 $(a,b)$ 上一致连续，当且仅当 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，且有限极限 ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x),{\lim }_{x\to b^{-}}f(x)$ 均存在； (2) 已知 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上可导，且...

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已知 $F(\alpha ,\beta )={\oint }_L\frac{xdy-ydx}{\alpha x^2+\beta y^2},\alpha ,\beta >0,$ 其中 $L:x^2+y^2=1$ 的方向为逆时针。 (1) 求 $F(\alpha ,\beta )$ 的表达式； (2) 讨论广义积分...

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设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续，且有限极限 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ 存在。证明：$f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上有界，且最大值或最小值至少有一个能够取得。