考研真题

验证 $y(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{3n}}{(3n)!}$ 满足 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }+y=e^x$⁠，并求闭式。

计算 ${\lim }_{\epsilon \to 0^{+}}{\iint }_{x^2+xy+y^2\ge {\epsilon }^2}\frac{1}{x^2+y^2}\sin \frac{1}{x^2+y^2}dxdy,$ 并说明合理性。

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设 $\zeta (x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-x}$⁠。证明它在 $(1,\infty )$ 任意阶可导，并判断 ${\int }_1^{\infty }(\zeta (x)-1)dx$ 的敛散性。

已知 $f\in C[0,1]$⁠，在 $(0,1)$ 二阶可导，$f(0)=f(1)=0$⁠，$f(1/2)=1/4$⁠。证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使 $f^{\prime \prime }(\xi )=-2$⁠。

求 $\sin \ln x$ 在 $x=1$ 处带 Peano 余项的四阶 Taylor 展开。

椭圆 $C:x^2+4y^2=16$ 取逆时针，计算 ${\oint }_C\left(\frac{x^{2}y}{x^2+2y^2+1}-y\right)dx+\left(x+\frac{x^{2}y}{x^2+2y^2+1}\right)dy.$

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求曲面 $z=xy$ 在 $x^2+y^2\le 1$ 上方部分的面积。

计算 ${\int }_0^{\infty }{\left(\frac{x^2}{1+x^4}\right)}^{2}dx.$

求实数 $a$ 的范围，使函数项级数 ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{\cos (n\pi x)}{n^{ax}}$ 关于 $x\in (2,\infty )$ 一致收敛。

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设 $T:V\to V$ 是欧氏空间上的正规算子。 (1) 证明 $T$ 的伴随算子的核空间与 $T$ 的核空间相等； (2) 若 $T^2=T$⁠，证明 $T$ 必为对称算子。

设 $A$ 为具有 $n$ 个互不相同特征值的 $n$ 阶复方阵。 (1) 设 $B$ 为 $n$ 阶复方阵，且 $B$ 与 $A$ 有完全相同的特征多项式。证明存在两个复方阵 $P,Q$⁠，使 $A=PQ,B=QP.$ (2) 设 $C$ 为 $n$ 阶复方阵，满足...

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设 $T$ 是实数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$n>1$⁠，且 $T^3=T.$ (1) 证明 $T$ 可对角化； (2) 若 $T$ 在 $V$ 的任意一组基下的表示矩阵都相同，证明该矩阵只能是 $E_n$⁠、$-E_n$ 或零矩阵。