考研真题

设 $f_x,f_y,f_{xy}$ 在 $P_0=(x_0,y_0)$ 连续。证明 $f_{yx}(P_0)$ 存在且等于 $f_{xy}(P_0)$⁠。

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判断：(1) $[a,b]$ 上凸函数必连续；(2) $(a,b)$ 上可微凸函数的导函数必连续。

设正连续函数 $f$ 在 $[0,\pi /2]$ 满足 ${\int }_0^{\pi /2}{e}^{f(x)}\sin x\ln f(x)dx=0,{\int }_0^{\pi /2}{e}^{f(x)}\cos x\ln f(x)dx=0.$ 证明：(1) 内点至少有 $f=1$⁠；(2) 至少有两个不同内点函数值相同。

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函数列 $f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ 点态有界，并统一满足 $|f_n(x)-f_n(y)|\le K|x-y|.$ 证明存在一致收敛子列。

(1) 证明对每个正整数 $n$⁠，方程 $x^3+3x+1/n=0$ 有唯一实根；(2) 证明这些实根构成收敛数列。

填空题： (1) 求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{2^n}.$ (2) 求 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\sqrt[x]{\sec \sqrt{2x}}.$ (3) 计算...

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设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times s$ 矩阵。证明 $r(AB)+n\ge r(A)+r(B),$ 并证明等号当且仅当 $N(A)\subset C(B)$⁠。

证明实内积空间中保持任意两向量内积不变的变换必为线性正交变换。

设 $P^2=P$⁠。证明 $P$ 是某子空间上的正交投影当且仅当 $P$ 自伴。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right).$ 求奇异值及一个奇异值分解。

设实三阶矩阵 $A,B$ 满足 $\det A=\det B=\det (A+B)=\det (A-B)=0.$ 证明任意实数 $x,y$ 都有 $\det (xA+yB)=0$⁠。

线性算子在基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_4$ 上满足 $\phi ({\alpha }_1)=5{\alpha }_1,\phi ({\alpha }_2)=5{\alpha }_2,\phi ({\alpha }_3)=3{\alpha }_1+2{\alpha }_2+5{\alpha }_3,\phi ({\alpha }_4)=6{\alpha }_4.$ ...