考研真题

考虑关于 $(x,y,z)$ 的线性方程组 $\{\begin{array}{l}x+2y+3z=0,\\ 2x+3y+az=3,\\ 3x+4y+5z=b.\end{array}$ 其中 $(a,b)$ 为参数。试讨论 $(a,b)$ 为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解；并在有解(唯一解或无穷多解)时，求出它的所有解。

设 $V$ 是 $2025$ 维实线性空间， $F:V\times V\to \mathbb{R}$ 是一个非退化双线性型。已知在 $V$ 的一个线性子空间 $W$ 上，$F$ 限制在 $W\times W$ 恒为零。考虑所有可能的 $F$ 和 $W$⁠，$\dim W$ 的最大可能值是 ______。 二、解答题。每题...

设 $n\ge 3$⁠，$x_1,x_2,\dots ,x_n$ 是不定元，$s_k$ 是这 $n$ 个不定元的 $k$ 次方的和， $s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots +x_n^k,k=1,2,\dots .$ 用 $s_k$ 表示下述多项式：...

线性空间 ${\mathbb{C}}^3\times {\mathbb{C}}^3$ 上的线性变换 $\mathcal{L}$ 定义如下：对 $X,Y\in {\mathbb{C}}^3$⁠， $\mathcal{L}(X,Y)=(X+2Y,2X-Y).$ 则 $\mathcal{L}$ 的所有特征值为 ______。(若有重数，需写明重数)

设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$U,W$ 分别是 $V$ 的 $m$ 维和 $r$ 维线性子空间。设 $T$ 是所有满足 $f(U)\subset W$ 的 $V$ 的线性变换 $f$ 所构成的线性空间，则 $\dim T=$ ______。(用 $n,m,r$ 表示)

计算行列式 $\left|\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 2& 3& 4& 0& 1& 0& 0\\ 1& 4& 9& 16& 0& 0& 1& 0\\ 1& 8& 27& 64& 0& 0& 0& 1\\ 2& 2& 2& 2& 1& 0& 0& 0\\ 2& 4& 6& 8& 0& 1& 0& 0\\ 2& 8& 18& 32& 0& 0& 1& 0\\ 2& 16& 54& 128& 0& 0& 0& 1\end{array}\right|=$ ...

设线性空间 $V$ 和它的三个线性子空间 $V_1,V_2,V_3$ 满足 $\dim V=9,\dim V_1=\dim V_2=\dim V_3=4,$ $V=V_1+V_2+V_3,(V_1+V_2)\cap V_3=\{0\}.$ 则 $\dim (V_1\cap V_2)=$ ______。

一个关于未知数 $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5{)}^T$ 的齐次线性方程组的解空间是由 $(5,0,2,2,1{)}^T$ 和 $(-1,7,1,-6,-3{)}^T$ 张成的线性子空间，那么在 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 中，主变元是 ______。

已知 $A\in M_{10}(\mathbb{C}),$ $A$ 的特征多项式为 $x^5(x-1{)}^5,$ $A$ 的极小多项式为 $x^3(x-1{)}^2,$ 则 $A$ 有 ______ 个不同的相似等价类。

设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 4\\ -1& 0& 2& -3\\ 5& 4& 1& 0\\ -1& -1& 3& 2\end{array}\right),$ 其特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4$⁠，则...

如果实系数多项式 $f(x)=x^3+a{x}^2+9$ 有重根，那么这个重根是 ______。

设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 有界单连通、边界 $S$ 光滑闭合，$P_0\notin S$⁠，$r=|Q-P_0|$⁠。证明 ${\iiint }_{\Omega }\frac{1}{r}dV=\frac{1}{2}{\iint }_S\cos \angle (P_{0}Q,n)dS.$