考研真题

(15 分)设 $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ 为可逆矩阵，满足 $ABA=B,BAB=A.$ 证明： $A^4=B^4=I.$

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(15 分)设 $A\in M_n(\mathbb{C})$⁠，任意给定非零列向量 $\alpha \in {\mathbb{C}}^n$⁠，求证：存在次数小于 $n$ 的多项式 $h(x)\in \mathbb{C}[x],$ 使得 $h(A)\alpha$ 为 $A$ 的特征向量。

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(15 分)设 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& -15& 6\\ 1& -4& 2\\ 1& -5& 3\end{array}\right)\in M_3(\mathbb{C}).$ 求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 及 $A$ 的最小多项式 $g(\lambda )$⁠。

(15 分)设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),$ 求正交矩阵 $P$ 及对角矩阵 $D$⁠，使得 $P^{T}AP=D.$

(15 分)实矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -4\\ -2& x& -2\\ -4& -2& 1\end{array}\right)$ 与对角阵 $\Lambda =\mathrm{diag}\{5,-4,y\}$ 相似，求 $x,y$ 的值。

(15 分)下面行列式 $d(x)=\left|\begin{array}{cccc}2x& x& 1& 2\\ 1& x& 1& -1\\ 3& 2& x& 1\\ 1& 1& 1& x\end{array}\right|$ 中 $x^k$ 的系数记为 $a_k$⁠，求 $a_2$ 及 $a_3$⁠。

(15 分)令 $B_R=\{(x_1,x_2)\in {\mathbb{R}}^2\mid x_1^2+x_2^2\le R^2\}$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中半径为 $R$ 的闭球，$R>0$⁠。设 $f(x)$ 是 $B_2$ 上的连续函数，满足条件：对任意 $x,y\in B_2$⁠，成立...

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(15 分)设函数列 $\{a_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上有定义，且存在不依赖于 $x,n$ 的常数 $K$⁠，使得 $|a_1(x)|\le K,{\sum }_{n=1}^m|a_n(x)-a_{n+1}(x)|\le K,\forall m\ge 1.$ 证明：如果级数...

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(15 分)设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续，且对任意固定的 $x\in [0,1]$⁠，有 ${\lim }_{n\to \infty }f(x+n)=0.$ 证明：函数列 $\{f(x+n)\mid n\ge 1\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$⁠。

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(15 分)计算积分 $I(b)={\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{b+\tan x},b>0.$

(15 分)证明：函数 $f(x)=x\cos \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上一致连续。

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(每题 5 分，共 60 分)填空题。 (1)求极限 ${\lim }_{x\to 0^{+}}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}.$ (2)设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln (xy)=x^2-y^2$ 隐式定义，求点 $(x,y)=(1,1)$ 处的导数...