考研真题

已知 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0,\\ 0,& x^2+y^2=0.\end{array}$ (1)若 $x=x(t),y=y(t)$ 是过原点的任意可微曲线，即...

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记区域 $D:0\le x\le 1,0\le y\le 1.$ 证明： $e^{xy}+\ln (1+xy)\ge 1+xy,$ 并说明取等条件。

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解答如下问题： (1)求 $|\sin x|$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的傅里叶级数，该级数是否一致收敛？ (2)若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积，证明：...

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判断级数 ${\sum }_{n=2}^{\infty }\ln \left(1+\frac{(-1{)}^n}{n^{\alpha }}\right)(\alpha >0)$ 的绝对收敛性、条件收敛性、发散性。

设 $f(t)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续且绝对可积。证明： $g(w)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)\cos (wt)dt$ 在 $w\in (-\infty ,+\infty )$ 上有界且一致连续。

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已知 $f(x)$ 在 $[A,B]$ 上黎曼可积，证明： ${\lim }_{h\to 0}{\int }_a^b|f(x+h)-f(x)|dx=0,$ 其中 $A<a<b<B.$

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若 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二阶连续可微，且 $|f^{\prime \prime }(x)|\le M,$ 假设 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 内能取到最大值，证明： $|f^{\prime }(0)+f^{\prime }(2)|\le 2M.$

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试问 $f(x)=x^2\sin x$ 在 $0\le x<+\infty$ 上是否一致连续？给出证明。

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设 $x_0=2,x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{3}{x_n}\right)(n=0,1,\dots ).$ 证明： ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\sqrt{3}.$

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(15 分)记 $E_{ij}$ 是 $(i,j)$ 元素是 $1$⁠、其余元素是 $0$ 的 $n$ 阶实矩阵。设 $\phi$ 是实列向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 上的线性变换，定义映射 $f_{\phi }:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 为...

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(15 分)对非负整数 $n$⁠，已知 $M_{2n+1}(\mathbb{R})$ 关于矩阵加法与数乘构成一个实线性空间，设 $V$ 是 $M_{2n+1}(\mathbb{R})$ 的一个非零子空间，满足 $V$ 中任意非零矩阵都可逆。求证： $\dim V=1.$

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(15 分)设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}\in M_n(\mathbb{R})$ 是正定对称矩阵，其对角元 $a_{ii}$ 及特征值 ${\lambda }_i$ 满足...