考研真题

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的最小多项式为 $m(\lambda )$⁠，且 $m(\lambda )\mid h(\lambda ),h(\lambda )=[f(\lambda ),g(\lambda )]$ (方括号表示最小公倍式)。证明 $r(f(A))+r(g(A))\le n.$

1. 设多项式 $g(x),h(x)$ 互素，证明 $\gcd (fh,g)=\gcd (f,g).$ 2. 设 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ 为整系数多项式。证明：若 $ac+bc$ 为奇数，则 $f(x)$ 在有理数域上不可约。

设 $f_1,f_2,\dots ,f_n(n\ge 2)$ 均为实多项式。若 $1+x+x^2+\cdots +x^n\mid x^{n-1}{f}_1(x^{n+1})+x^{n-2}{f}_2(x^{n+1})+\cdots +x{f}_{n-1}(x^{n+1})+f_n(x^{n+1}),$ 证明...

1. 叙述一元整系数多项式的 Eisenstein 判别法； 2. 判断 $x^4+x^3+x^2+x+1$ 在有理数域上是否可约，并说明理由。

若 $f(y)={\int }_1^{y^2}\frac{\ln (x+y)}{x}dx,$ 求 $f^{\prime }(y)$⁠。

计算广义积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{{\sin }^{4}x}{x^2}dx.$

计算广义积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{dx}{(1+x^2)(1+x^3)}.$

设 $I(p)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-p{x}^2}\frac{\sin x}{x}dx,0<a<b.$ 1. 证明 $I(p)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛； 2. 求 $I(p)$ 及 $I(0)$⁠。

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讨论积分 ${\int }_0^{+\infty }\left[{\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)}^{-1/p}-1\right]dx$ 的收敛性(及绝对收敛性)。

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证明广义积分 $f(s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-2x}dx$ 在 $(0,+\infty )$ 上可微。

讨论 ${\int }_1^{+\infty }\frac{{\cos }^{2}x}{x}dx$ 的敛散性。

设 $F(\alpha )={\int }_0^{+\infty }x{e}^{-\alpha x}dx.$ 1. 证明该积分在 $(0,+\infty )$ 上非一致收敛； 2. 证明对任意正数 ${\alpha }_0$⁠，该积分在 $[{\alpha }_0,+\infty )$ 上一致收敛； 3. 证明 $F^{\prime }(\alpha )$ 在...