考研真题

设 $f(x)\in P[x]$ 是二次多项式，$x_1,x_2\in P$ 是它的两个不同根。设 $A$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的非数乘线性变换，且 $f(A)=0$⁠。证明： 1. $x_1,x_2$ 都是 $A$ 的特征值； 2. $V=V_{x_1}\oplus V_{x_2}$⁠。

写出线性变换 $\sigma$ 可对角化的充要条件，至少四个。

设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，并记 $V_1=\ker \mathcal{A},V_2=\mathrm{Im}\mathcal{A}.$ 证明下列命题等价： 1. $V=V_1+V_2$⁠； 2. $V_1+V_2$ 是直和； 3....

设 $F$ 是数域，$V=M_2(F)$⁠。定义 $\mathcal{A}(X)=X^{,}$ 其中 X^ 是 $X$ 的伴随矩阵。 1. 证明 $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的线性变换； 2. 求 $\mathcal{A}$ 在基 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$...

设 $A$ 是数域 $K$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值。 1. 证明 $\lambda$ 的几何重数不超过代数重数； 2. 举例说明几何重数可以严格小于代数重数。

设 ${\mathbb{R}}_n[x]$ 表示次数不超过 $n$ 的实系数多项式全体。 1. 证明 ${\mathbb{R}}_n[x]$ 按通常的多项式加法和实数数乘构成 $n+1$ 维向量空间； 2. 证明差分算子 $D_n:f(x)\mapsto f(x+1)-f(x)$ 是 ${\mathbb{R}}_n[x]$ 上的线性变换。

设 $A$ 是有限维线性空间 $V$ 上的线性变换。证明： $\mathrm{Im}A\subseteq \ker A⟺A^2=0.$

设 $V$ 是数域 $\Omega$ 上的 $n$ 维向量空间，$n\ge 2$⁠，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换。若 $3{\sigma }^3+2{\sigma }^2+\sigma =0,$ 证明 $V=\ker \sigma \oplus \sigma (V).$

设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\phi$ 是 $V$ 上的线性变换。证明：存在 $f\in \mathbb{C}[x]$⁠，使 $\sigma =\phi f(\phi )$ 可对角化，并且 $\phi$ 与 $\sigma$ 有相同的特征多项式。

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设 $V$ 是有限维实线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换。若 $A$ 的特征多项式有非实根 $a+bi(b\ne 0)$⁠，证明：存在二维实子空间 $W\subseteq V$⁠，使 $A(W)\subseteq W.$

设 $V_1$ 是数域 $P$ 上全体 $n$ 阶对称矩阵构成的集合，$V_2$ 是全体 $n$ 阶反对称矩阵构成的集合。 1. 证明 $V_1,V_2$ 都是 $P^{n\times n}$ 的线性子空间； 2. 证明任一 $n$ 阶矩阵可分解为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和； 3. 证明...

设 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,{\epsilon }_3$ 是三维线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $A$ 满足...

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