数学专业考研真题，按学校、年份和知识点标签整理。
共 2325 道题目
设 A 是 n 维欧氏空间 V 上的对称变换，即 (Aα,β)=(α,Aβ),∀α,β∈V. 证明：A 的特征值全为实数，并且...
设 V 是数域 K 上的线性空间，f 是 V 上的双线性函数。 1. 证明 V 不可能是两个真子空间的并； 2. 给定 α∈V，证明 Vα={β∈V:f(α,β)=f(β,α)} 是 V 的子空间； 3....
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在欧氏空间 V=R4 中，给定 α1=(1,−1,−1,1),α2=(1,0,−1,1),α3=(0,1,−1,1), 令 W=span{α1,α2,α3}。求...
设 A 是 n 维欧氏空间 V 上的线性变换，且对任意 α,β∈V， ∥Aα−Aβ∥=∥α−β∥. 证明 A 是正交变换。
设 V 是 n 维欧氏空间，n≥2，σ 是 V 上的线性变换。若 τ=σ′σ 是正交变换，其中 σ′ 是 σ 的伴随变换，证明 σ 是正交变换。
设 e1,…,en 是 Euclidean 空间 V 的一组标准正交基，向量 v1,…,vn∈V 满足 ∥ei−vi∥<n1,1≤i≤n. 证明 v1,…,vn 是 V 的一组基。
设 ε1,ε2,ε3 是欧氏空间 V 的一组基，其度量矩阵为 G=32−222−1−2−12. 令...
设 ε1,ε2,ε3 是三维欧氏空间 V 的一组标准正交基，已知 α=3ε1+4ε2,β=4ε1−3ε2. 求一个正交变换 A，使...
设 V 是 n>1 维欧氏空间，α 是单位向量。 1. 若正交变换 B 关于 α 作镜面反射，即 Bα=−α,Bβ=β当 (α,β)=0, 证明...
设 α1,α2,…,αs 是 n 维欧氏空间中的向量组，令 Gram 矩阵 G=((αi,αj))s×s. 证明：α1,…,αs 线性无关的充要条件是 G 可逆。
设 V 是全体实 n 阶对称矩阵构成的线性空间，并定义 (A,B)=tr(AB). 1. 证明 V 构成欧氏空间； 2. 对 S={A∈V:tr(A)=0}, 求 dimS 与 dimS⊥。
设 U 是酉空间，A:U→U 是线性变换，且 (v,Av)∈R,∀v∈U. 证明 A 是 Hermite 变换，即...
