数学专业考研真题，按学校、年份和知识点标签整理。
共 2325 道题目
在 Rn 上给定实矩阵 A，定义双线性函数 (X,Y)=XTAY. 1. 证明该函数是内积，当且仅当存在可逆实矩阵 B 使 A=BTB; 2. 对 α∈Rn，令 ρα(X)=(α,X)，并定义...
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设 U 是有限维内积空间 V 的子空间，U⊥ 为 U 的正交补。证明： 1. U⊥ 是 V 的子空间； 2. V=U⊕U⊥。
已知 α1=31(1,1,1)T. 求 α2,α3，使 α1,α2,α3 构成 R3 的一组规范正交基。
设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间。 1. 叙述并证明两个子空间之和的维数公式； 2. 固定 0=α∈V，令 W={β∈V:\text{存在 }T\in L(V), \ T(\alpha)=\beta\}. 证明 W=V。
设 F 为数域，C(M) 表示所有与方阵 M 可交换的同阶矩阵组成的集合。令 f(x)=(x−1)2(x+2)2. 1. 证明 C(M) 是线性空间； 2. 特征多项式为 f(x) 的矩阵按相似关系分为几类？每类写一个代表； 3. 若 A 的特征多项式为 f(x)，求...
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设 A=110010002, 并令 C(A)={B∈M3(F):AB=BA}. 1. 证明 C(A) 是 M3(F) 的线性子空间； 2. 求 C(A) 的维数和一组基。
设 V 是实向量空间，非零向量 α1,…,αn∈V 的秩为 r。令 W={(k1,…,kn)∈Rn:∑i=1nkiαi=0}. 证明 W 是 Rn 的...
设 A 为 m×n 矩阵，B 为 n×s 矩阵。记 N(A)={x∈Rn:Ax=0},R(B)={Bx:x∈Rs}. 证明 dimN(AB)=dimN(A)+dimN(B) 的充要条件为...
在 R4 中设 W1={(x1,x2,x3,x4)T:x1+2x2−x4=0}, W2=span{α1,α2},α1=(1,−1,0,1)T,α2=(1,0,2,3)T. ...
设 F 为 n 阶 Frobenius 伴随矩阵，A=(aij)∈Mn(C)。 1. 若 AF=FA，证明 A=a11I+a21F+a31F2+⋯+an1Fn−1; 2. 求...
设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换，W 是 A-不变子空间。已知 A 有 k 个互异特征值 λ1,…,λk，相应特征向量为 ξ1,…,ξk。若...
设 A 是数域 F 上的 m×n 矩阵，B 是 (n−m)×n 矩阵。令 V1={x∈Fn:Ax=0},V2={x∈Fn:Bx=0}. 若 C=(AB) 可逆，证明...
