考研真题

若 $f\in C^2(0,1)$⁠，$f(0)=f(1)=0$⁠，且 $f(x)\ne 0$ 于 $(0,1)$⁠，证明 ${\int }_0^1\left|\frac{f^{\prime \prime }(x)}{f(x)}\right|dx\ge 4.$

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计算曲线积分 ${\int }_{C}x\ln (x^2+y^2-1)dx+y\ln (x^2+y^2-1)dy,$ 其中 $C$ 是被积函数定义域内从 $(2,0)$ 到 $(0,2)$ 的分段光滑曲线。

设 $f$ 有连续导数且 $f(0)=0$⁠。令 $V_t=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\le t^2\}.$ 求 ${\lim }_{t\to 0}\frac{{\iiint }_{V_t}f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)dxdydz}{\pi t^4}.$

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{\pi }{4},& x\in [-\pi ,0),\\ \frac{\pi }{4},& x\in [0,\pi ).\end{array}$ 1. 求 $f$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的 Fourier 展开并写出和函数； 2. 计算...

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求 $f(x,y)=x^2+y^2-4(3x-4y)$ 在 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le 25\}$ 上的最大值和最小值。

设广义积分 ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，且 $f$ 单调。证明 ${\lim }_{x\to +\infty }xf(x)=0.$

设 $f\in C^2(0,1)$⁠，并连续延拓到 $[0,1]$⁠，满足 $f(0)=f(1)=0,f(x)\ne 0(0<x<1).$ 证明 ${\int }_0^1\left|\frac{f^{\prime \prime }(x)}{f(x)}\right|dx\ge 4.$

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求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1\cdot 1!+2\cdot 2!+\cdots +n\cdot n!}{(n+1)!}.$

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\alpha \in V$ 是单位向量，定义镜面反射 ${\phi }_{\alpha }(v)=v-2(\alpha ,v)\alpha .$ 证明： 1. ${\phi }_{\alpha }$ 是正交变换； 2. 若 $\beta ,\gamma$ 是模长相同的互异向量，则存在镜面反射...

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设 $V=\mathbb{R}[x]$⁠，内积为 $(f,g)={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx.$ 设 $p_i(x)$ 是 $i$ 次首一实系数多项式，且 $(p_i,p_j)=0(i\ne j).$ 1. 求 $p_0,p_1,p_2$⁠； 2. 对任意正整数 $m$⁠，证明存在实数...

在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中取非零向量 $\gamma$⁠，定义 $W_0=\{x\in V:(x,\gamma )=0\},Ax=x-\frac{2(x,\gamma )}{(\gamma ,\gamma )}\gamma .$ 1. 证明 $W_0$ 是 $A$ 的不变子空间，并求 $\dim W_0$⁠； 2....

在 ${\mathbb{R}}^2$ 的标准内积下，令 $S=\left\{\left(\cos \frac{k\pi }{3},\sin \frac{k\pi }{3}\right):k\in \mathbb{Z}\right\}.$ 设线性变换 $\sigma :{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 满足： 1. 对任意...

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