考研真题

讨论含参反常积分 $f(x)={\int }_0^{+\infty }x{e}^{-xy}dy$ 在 $(0,+\infty )$ 上的一致收敛性。

设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $g(x)=f(x){\int }_0^{x}f(t)dt$ 单调递减。证明 $f(x)\equiv 0$⁠。

设 $\{x_n\}$ 是 $(0,1)$ 上两两互异的数列。讨论函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\mathrm{sgn}(x-x_n)}{2^n}$ 在 $(0,1)$ 上的一致收敛性以及极限函数的连续性。

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设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上二阶连续可导，并令 $M_0={\sup }_{x>0}|f(x)|,M_1={\sup }_{x>0}|f^{\prime }(x)|,M_2={\sup }_{x>0}|f^{\prime \prime }(x)|,$ 均有限。证明 $M_1\le 2\sqrt{M_0{M}_2}.$

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已知 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a,{\lim }_{n\to \infty }{b}_n=b.$ 证明 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_1{b}_n+a_2{b}_{n-1}+\cdots +a_n{b}_1}{n}=ab.$

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计算曲面积分 ${\iint }_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy,$ 其中 $S:x^2+y^2+z^2=a^2$⁠，方向外侧。

计算 ${\iint }_D{e}^{\frac{y}{x+y}}dxdy,$ 其中 $D$ 由 $x=0$⁠、$y=0$⁠、$x+y=1$ 围成。

计算曲线积分 ${\oint }_L\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2},$ 其中 $L:x^2+y^2=a^2$⁠，$a>0$⁠，取正向。

将 $f(x)=\sin x$⁠，$x\in [0,\pi ]$⁠，展开成余弦级数。

计算极限 ${\lim }_{x\to +\infty }\left[\left(x^3-x^2+\frac{x}{2}\right)e^{1/x}-\sqrt{x^6+1}\right].$

将二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 4& -1\\ 0& 2& -3\\ 1& -1& 3\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3{)}^T$ 化为标准形。

已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\mathcal{A},\mathcal{B}\in {\mathrm{End}}_F(V)$⁠。证明 $\dim \ker (\mathcal{A}\mathcal{B})\le \dim \ker \mathcal{A}+\dim \ker \mathcal{B},$ 并由此证明对任意...