考研真题

设函数项级数 ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{x{e}^{-nx}}{\ln n}.$ (1)求收敛区间； (2)设 $a>0$⁠，证明该级数在 $[a,+\infty )$ 上一致收敛。

定义 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}{e}^{-1/x^2},& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$ (1)证明 $f$ 在 $x=0$ 连续且可导； (2)证明 $f^{\prime }$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续； (3)求 $f$ 的单调区间、最大值点和最小值点。

计算 ${\iiint }_{\Omega }2\sqrt{x^2+y^2}dxdydz,$ 其中 $\Omega$ 由柱面 $y=\sqrt{2x-x^2}$ 以及平面 $z=0$⁠、$z=a$($a>0$)和 $y=0$ 围成。

证明二元函数 $f(x,y)=x^3-4x^2+2xy-y^2$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上有唯一的极值点，并且该点是极大值点但不是最大值点。

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导，满足 $f(a)=f(b)=0,f_{+}^{\prime }(a)f_{-}^{\prime }(b)=0.$ 证明至少存在两个不同的点 $\xi ,\eta \in [a,b]$⁠，使 $f^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(\eta )=0.$

证明 $f(x)=\ln x$ 在 $(1,+\infty )$ 上一致连续，但在 $(0,1)$ 上不一致连续。

讨论函数 $f(x,y)={\left(1+\frac{2}{x^2}\right)}^{\frac{x^4}{x^2+y^2}}$ 在 $(0,0)$ 处的累次极限和重极限是否存在；若存在，求其值。

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+\tan x{)}^{1/4}+(1-\sin x{)}^{1/4}-2}{x^2}.$

若 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a>0$⁠，求 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}.$

计算 ${\lim }_{x\to 0^{+}}(\cos \sqrt{x}{)}^{1/x}.$

若 $Q\in M_n(\mathbb{C}),Q\overline{Q^T}=I_n,$ 证明 $Q$ 的特征值模长均为 $1$⁠。并举例说明：存在 $P\in M_2(\mathbb{C})$ 的全部特征值模长均为 $1$⁠，但 $P\overline{P^T}\ne I_2.$

设 $\mathcal{A}$ 为不可逆线性变换。证明存在非零线性变换 $\mathcal{B}$ 满足 $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}=0.$

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