考研真题

设 $M(n,\mathbb{R})$ 为全体 $n$ 阶实矩阵构成的线性空间。给定 $A,B\in M(n,\mathbb{R})$⁠，定义 $\mathcal{A}:M(n,\mathbb{R})\to M(n,\mathbb{R}),X\mapsto AXB.$ (1)证明 $\mathcal{A}$ 为线性变换； (2)设...

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设 $n>1$⁠， $V=\left\{{\sum }_{0\le i<n}{C}_i{x}^i:C_i\in \mathbb{C}\right\}\subset \mathbb{C}[x],$ 定义 $\mathcal{A}\left({\sum }_{0\le i<n}{C}_i{x}^i\right)={\sum }_{0\le i<n}i{C}_i{x}^{i-1}.$ ...

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设 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2023& 2022\end{array}\right),$ 计算 $A^{2024}$⁠。

证明：奇数维欧氏空间中的任一正交变换，其全部实特征值之和必为奇数。

设 ${\alpha }_1=(1,1,1,1),{\alpha }_2=(3,2,1,1),{\alpha }_3=(0,2,2,2)$ 是欧氏空间 ${\mathbb{R}}^4$ 中的向量。 (1)令 $V=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$⁠，求 $V^{\perp }$⁠； (2)设...

证明：不存在复数域上的方阵 $A$⁠，使 $A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right).$

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向量空间中的五个向量 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_5$ 满足 ${\alpha }_3={\alpha }_1-{\alpha }_2-{\alpha }_5,{\alpha }_4={\alpha }_1-{\alpha }_3+{\alpha }_5,$ 且 $r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_5)=3.$ 求方程...

判断下列多项式是否为 $\mathbb{Q}$ 上的不可约多项式，并说明理由： (1)$x^8+x^4+1$⁠； (2)$x^5+5x+11$⁠。

设 $n$ 为正整数，计算 $\left|\begin{array}{cccc}1+x_1& x_1& \cdots & x_1\\ x_2& 1+x_2& \cdots & x_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_n& x_n& \cdots & 1+x_n\end{array}\right|.$

设 $f$ 为 $[a,b]$ 上连续且 Riemann 可积的函数。证明 ${\lim }_{\lambda \to \infty }{\int }_a^{b}f(x)\sin (\lambda x)dx=0.$

求曲线积分 ${\int }_{C}x\ln (x^2+y^2-1)dx+y\ln (x^2+y^2-1)dy,$ 其中 $C$ 是被积函数定义域内从 $(2,0)$ 到 $(0,2)$ 的任意逐段光滑曲线。

设 $f_1$ 在 $[a,b]$ 上可积，$A$ 为给定常数，并递推定义 $f_{n+1}(x)=A+{\int }_a^x{f}_n(t)dt,x\in [a,b],n=1,2,\dots .$ (1)证明 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛； (2)记极限函数为 $f$⁠，证明 $f$ 在...

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