考研真题

设 $f\in C^2({\mathbb{R}}^3)$⁠。证明：$f$ 在 ${\mathbb{R}}^3$ 上调和，当且仅当对任意光滑简单闭曲面 $S$⁠，都有 ${\iint }_S\frac{\partial f}{\partial n}dS=0.$

计算第二类曲线积分 ${\int }_L(y^2-z^2)dx+(2z^2-x^2)dy+(3x^2-y^2)dz,$ 其中 $L$ 是平面 $x+y+z=2$ 与柱面 $|x|+|y|=1$ 的交线；从 $z$ 轴正方向向下看，$L$ 为顺时针方向。

求级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n(2n-1)}$ 的和。

计算第一类曲面积分 ${\iint }_S(x^2+y^2)dS,$ 其中 $S$ 是立体 $\sqrt{x^2+y^2}\le z\le 1$ 的边界。

计算极限 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{\ln (1+n)-\ln n}-n\right).$

设 $V={\mathbb{C}}^{n\times n}$⁠，$A\in V$⁠。定义线性变换 $\mathcal{L}(X)=AX-X{A}^T.$ 若 $A$ 有 $n$ 个互不相等的特征值，证明 $V={\mathcal{L}}^{-1}(0)\oplus \mathcal{L}(V).$

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设 $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$⁠，其中 $A$ 正定，$B$ 半正定。证明 $|A+B|\ge |A|.$

设 $\tilde{A},\tilde{B}\in {\mathbb{R}}^{m\times (n+1)}$ 分别是两个线性方程组的增广矩阵。若两个方程组都有解且解集相同，证明 $\tilde{A},\tilde{B}$ 的行向量组等价。

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求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 2\\ 0& 2& -1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& -1& 1& 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准形。

设 $V=\mathbb{R}[x{]}_4$ 为次数小于 $4$ 的实系数多项式空间，定义 $\mathcal{A}(f(x))=(1-x^2)f^{\prime \prime }(x)-2x{f}^{\prime }(x).$ 求 $V$ 的一组基，使 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。

已知四阶方阵 $A$ 的伴随矩阵为 $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& -1& 1& 0\\ 0& -1& 0& 1\\ 0& 0& -1& -1\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$ 求 $A^3$⁠。

计算行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1+x& x& 0& 0\\ x& x+x^2& x^2& 0\\ 0& x^2& x^2+x^3& x^3\\ 0& 0& x^3& x^3+x^4\end{array}\right|.$