考研真题

设行向量 $\alpha =(a_1,\dots ,a_n),\beta =(b_1,\dots ,b_n),$ 并令 $c=\beta {\alpha }^T,A={\alpha }^T\beta .$ (1)证明 $c\ne 0$ 时 $A$ 可对角化。 (2)当 $c=0$ 时，判断 $A$ 是否可对角化。

设 $V$ 为 $n$ 维线性空间，$1\le r<n$⁠。证明 $V$ 有无穷多个 $r$ 维子空间。

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。证明：$A$ 可逆当且仅当存在实矩阵 $B$⁠，使 $AB+B^{T}A$ 正定。

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵， $C=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right).$ (1)当 $A,B$ 可逆时，求 $C^{-1}$ 与 C^⁠。 (2)当 $A,B$ 中至少一个不可逆时，证明 $C$ 不可逆。 (3)当 $A,B$ 中至少一个不可逆时，求 C^⁠。

设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),B=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta +{\alpha }_3),$ 其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta$ 为四维列向量。方程组 $AX=\beta$ 的通解为...

(1)设不可约多项式 $p(x)$ 是 $f(x)$ 的 $k\ge 2$ 重因式。证明 $p(x)$ 是 $f^{\prime }(x)$ 的 $k-1$ 重因式，并用反例说明逆命题不成立。 (2)求一个三次多项式 $f(x)$⁠，使 $f(x)+1$ 被 $(x-1{)}^2$ 整除，$f(x)-1$ 被 $(x+1{)}^2$ 整除。

完成下列计算题。 (1)求实数 $a,b$ 满足什么条件时，多项式 $f(x)=x^3+3ax+b$ 有重因式。 (2)计算 $D_n=\left|\begin{array}{cccc}1+a_1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1+a_2& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1+a_n\end{array}\right|,a_i\ne 0.$ ...

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设函数列 $\{f_n\}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上逐点收敛于 $f$⁠。 (1)若每个 $f_n$ 连续且 $f_n$ 一致收敛，证明 $f$ 连续。 (2)若每个 $f_n$ Riemann 可积且 $f_n$ 一致收敛，证明 $f$ Riemann 可积。 (3)若每个 $f_n$ 可微，且存在...

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设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内二阶可导；二者在 $(a,b)$ 内取得相等的最大值，并且 $f(a)=g(a),f(b)=g(b).$ 证明存在 $\xi \in (a,b)$⁠，使 $f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi ).$

设参数 $\alpha >0$⁠，讨论广义积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{e^{\sin x}\sin (2x)}{x^{\alpha }}dx$ 的收敛性，包括条件收敛和绝对收敛。

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判断下列命题真伪；正确者证明，错误者给出反例。 (1)若正项级数 $\sum a_n$ 收敛，则 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_{n+1}/a_n=1$⁠。 (2)若 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。 (3)若二元函数 $f(x,y)$ 在...

设 $f$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 上的调和函数，$S$ 是光滑简单闭曲面，围成有界区域 $V$⁠，且 $x_0=(x_0,y_0,z_0)\in V$⁠。记 $r=(x-x_0,y-y_0,z-z_0).$ 证明...

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