考研真题

设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可微，满足 ${\lim }_{x\to +\infty }{f}^{\prime }(x)=1,f(x+1)-f(x)=f^{\prime }(x)$ 对所有 $x$ 成立。证明 $f(x)=x+C.$

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设 $f:(0,1]\to \mathbb{R}$ 是无界单调函数，且反常积分 ${\int }_0^{1}f(x)dx$ 收敛。证明 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx.$

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已知函数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 的图像 $G_f=\{(x,f(x)):x\in [a,b]\}$ 是有界闭集。证明 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。

设 $f,g$ 在 $[0,1]$ 上连续，数列 $x_n\in [0,1]$ 满足 $f(x_n)=g(x_{n+1}).$ 证明存在 $\xi \in [0,1]$⁠，使 $f(\xi )=g(\xi ).$

设 $K(x,y)$ 在 $[0,1{]}^2$ 上连续，$f_1$ 在 $[0,1]$ 上连续，并递推定义 $f_n(x)={\int }_0^{x}K(x,y)f_{n-1}(y)dy.$ 证明 $f_n$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$⁠。

数列满足 $x_1=\frac{\sqrt{2}}{2},x_{n+1}=\sqrt{\frac{2x_n^2}{x_n^2+2}}.$ (1)证明 $x_n\to 0$⁠。 (2)求 ${\lim }_{n\to \infty }n(x_n-\ln (1+x_n)).$

(1)叙述闭区间套定理。 (2)利用闭区间套定理证明有界性原理。

求极限 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x}{\int }_0^x|\sin t|dt.$

求极限 ${\lim }_{x\to 0}\left(\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{\ln (x+\sqrt{1+x^2})}\right).$

计算 ${\iint }_D|3x+4y|dxdy,D=\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}.$

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 的矩阵为 $A$⁠。在正交变换 $X=QY$ 下，它化为 $y_1^2+y_2^2,$ 且 $Q$ 的第三列为 $q_3=\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}/2\\ 0\\ \sqrt{2}/2\end{array}\right).$ (1)求 $A$⁠。 (2)证明 $A+E$...

设数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ 是指数为 $k$ 的幂零矩阵，其 Jordan 标准形为 $J=J_{n_1}(0)\oplus \cdots \oplus J_{n_s}(0).$ (1)证明 $s=n-r(A)$⁠。 (2)证明 $k=\max \{n_1,\dots ,n_s\}$⁠。 (3)利用上述结论求...