考研真题

设复二次型 $f=2x_1^2+x_2^2-4x_1{x}_2-4x_2{x}_3.$ 求非退化线性替换 $X=CY$⁠，将其化为规范形。

设 $A$ 为 $5\times 4$ 矩阵，$r(A)=3$⁠，$\beta$ 为5维非零列向量。已知 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3$ 是 $AX=\beta$ 的三个不同解，且...

设 $f(x)=2x^4+2x^3-5x^2-13x-2,g(x)=x^3+x^2-3x-6.$ 求首一最大公因式以及 $u,v$⁠，使 $uf+vg=(f,g)$⁠。

设 $A=(a_{ij})$⁠，其中 $a_{ij}=\frac{1-x_i^n{y}_j^n}{1-x_i{y}_j},x_i{y}_j\ne 1,$ 求 $|A|$⁠。

判断：同尺寸的 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda ),B(\lambda )$ 等价的充要条件是有相同的初等因子组。

判断：设 $\mathcal{A}$ 是 $n>1$ 维复线性空间上的线性变换。若 ${\mathcal{A}}^n=0$ 且 ${\mathcal{A}}^{n-1}\ne 0$⁠，则存在两个非平凡 $\mathcal{A}$-不变子空间 $U,W$⁠，使 $V=U\oplus W$⁠。

判断：四阶复方阵 $A,B$ 相似，当且仅当二者特征多项式相同，且每个特征值的几何重数也相同。

判断：实系数奇次多项式必有实根。

设 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda )=\mathrm{diag}((\lambda -1{)}^3,(\lambda +1{)}^2,(\lambda -1{)}^2(\lambda +1{)}^4).$ 求其所有不变因子。

在标准内积下，对基 ${\alpha }_1=(-1,1,1),{\alpha }_2=(0,-1,1),{\alpha }_3=(0,0,1)$ 作 Schmidt 正交化得到标准正交基 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$⁠。求 ${\beta }_3$⁠。

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为3，求矩阵 $A^2-2A+I$ 的各行元素之和。

设 $A=\left(\begin{array}{cccc}-2& 1& 1& 1\\ -1& -1& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\\ -1& 1& -1& 0\end{array}\right).$ 求 $A$ 的最小多项式。