考研真题

设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上可导，且 $f^{\prime }$ 连续。若 ${\lim }_{x\to +\infty }[2f(x)+f^{\prime }(x)]=0,$ 证明 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0.$

证明数列 $x_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$ 收敛。

计算 ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin (\sqrt{2}x)}{x}dx.$

计算 ${\oint }_L(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,$ 其中 $L$ 为柱面 $x^2+y^2=R^2$ 与平面 $\frac{x}{R}+\frac{z}{H}=1(R,H>0)$ 的交线，从正 $x$ 轴方向观察为逆时针方向。

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计算 ${\iint }_{x^2+y^2\le 4}{e}^{-x^2-y^2}dxdy.$

设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x^2},& x\ne 0,\\ 0,& x=0.\end{array}$ 求 $f^{(2025)}(0)$⁠。

设 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2.$ 求 $\mathrm{div}(\nabla f)$⁠。

设 $f(s,t)=e^{2st}\sin (s^2+t).$ 求 $\partial f/\partial s$⁠。

求级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3^n\sqrt{n+1}{x}^{3n}}$ 的收敛域。

计算 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n(n+1)}{2^n}.$

设 $f$ 在 $0$ 处可导且 $f(0)=2$⁠。计算 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{f(2/n)}{f(0)}\right)}^n.$

计算 ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n\frac{\sin (k\pi /n)}{n+k/n}.$