考研真题

设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续且 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=k.$ 证明对 $a>0,b>0$⁠， ${\int }_0^{+\infty }\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=[f(0)-k]\ln \frac{b}{a}.$

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设反常积分 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 收敛，且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ 有意义(有限数或 $+\infty$ 或 $-\infty$)。证明 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0.$

计算曲面积分 $F(t)={\iint }_{x+y+z=t}f(x,y,z)dS,$ 其中 $f(x,y,z)=\{\begin{array}{ll}1-x^2-y^2-z^2,& x^2+y^2+z^2\le 1,\\ 0,& x^2+y^2+z^2>1.\end{array}$

求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^{4n-1}}{4n+1}$ 的收敛域与和函数 $S(x)$⁠。

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积。证明存在折线函数列 $\{f_n{\}}_{n=1}^{\infty }$⁠，使 ${\int }_0^{1}f(x)dx={\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1{f}_n(x)dx.$

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=1$⁠。证明： (1) 存在 $\xi \in (0,1)$⁠，使 $f(1)=(1+\xi )f^{\prime }(\xi )\ln 2+1;$ (2) 对 $x\in (0,1)$⁠，...

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}g(x,y)\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$ 证明： (1) 若 $g(0,0)=0$⁠，$g$ 在 $(0,0)$ 处可微且 $dg(0,0)=0$⁠，则 $f$ 在...

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证明不等式 $\frac{1}{{\sin }^{2}x}\le \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{{\pi }^2},0<x\le \frac{\pi }{2}.$

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证明函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x}\ln x,& x>0,\\ 0,& x=0\end{array}$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致连续。

已知数列 $x_0=a>0,x_n=\arctan x_{n-1}(n=1,2,\dots ).$ 证明： (1) $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$⁠； (2) $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{2n}{3}}{x}_n=1$⁠。

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已知 $A,B\in M_n(\mathbb{C})$ 均为正定矩阵。证明矩阵方程 $AX+XA=B$ 存在唯一解，且该解也是正定矩阵。

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已知 $A,B\in M_n(\mathbb{C})$⁠，$AB=BA$⁠，且 $r(AB)=r(B).$ 证明：若 $A$ 为 nilpotent 矩阵，则 $B=0$⁠。