考研真题

设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增，令 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt(x\ge 0).$ 证明 $F(x)$ 在 $x=0$ 处存在右导数，并求 $F_{+}^{\prime }(0)$⁠。

设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续非负，并且对任意 $x,y>0$⁠，有 $f(x+y)\le f(x)+f(y).$ 证明 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}$ 存在且有限。

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证明在 $(0,0)$ 的邻域内，方程 $x-\cos (x^{2}y)+e^{x+y^2}=0$ 决定连续可微函数 $x=x(y)$⁠，并证明该函数在 $y=0$ 处取得极大值。

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设 $\{a_n\}$ 单调递减，且 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0.$ 记 $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n,x\in (-1,1).$ 证明 ${\lim }_{x\to 1^{-}}(1-x)f(x)=0.$

设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续且有界。证明 $f_n(x)=\frac{n}{1-e^{-n}}{\int }_0^{1}f(x+t)e^{-nt}dt$ 一致收敛于 $f(x)$⁠。

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求 ${\int }_0^{+\infty }\frac{e^{-x}-e^{-3x}}{x}\sin xdx.$

设 $V=\{(x,y,z):\sqrt{x^2+y^2}\le z\le 3\},$ 求 ${\iiint }_V\sqrt{x^2+y^2}\sin (z^2)dxdydz.$

设 $\Gamma :y=\sqrt{2x-x^2}$ 从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$⁠，求第二型曲线积分 ${\int }_{\Gamma }(e^x\sin y-4y)dx+(e^x\cos y+4x)dy.$

证明函数 $f(x)=x\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。

设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，以 $T>0$ 为周期，且 ${\int }_0^{T}f(x)dx=0.$ 设 $g(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调，且 ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=0.$ 证明广义积分...

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可微，且 $f(a)=f(b)=0.$ 证明：存在 $\xi \in (a,b)$⁠，使 $f^{\prime }(\xi )=2025f(\xi ).$

“${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A$ 的充分必要条件是：对任意 $\epsilon \ge 0$⁠，存在正整数 $N$⁠，当 $n>N$ 时有 $|a_n-A|\le \epsilon$ 。”这一说法是否正确？