数学专业考研真题，按学校、年份和知识点标签整理。
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已知 n 阶矩阵 A,B 满足 AB=A−B. 证明： 1. E+A 可逆； 2. AB=BA； 3. A,B 的秩相同； 4. 若 A=−10301010−1, 求 B。
设 A 是实矩阵，其特征值均为实数。证明存在正交矩阵 T，使 T−1AT 为上三角矩阵。
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设 A,B 均为 n 阶正定矩阵，且 AB=BA。证明 AB 也正定。
设 A 为欧氏空间 V 上的正交变换，W⊆V 是 A 的不变子空间。证明 W⊥ 也是 A 的不变子空间。
设 A,B 为 n 阶矩阵。证明 AB 与 BA 有相同的特征多项式。
设 A 是实反对称矩阵。证明 E+A 可逆，并且 Q=(E−A)(E+A)−1 是行列式为 1 的正交矩阵。
设向量组 α1,α2,…,αs 的秩为 r。任取其中 t 个向量 αi1,αi2,…,αit, 证明该子向量组的秩不小于 r−s+t.
设 f(x) 是首项系数为 1 的 n 次多项式，且 f(1)=0。若 f′(x)∣f(x), 证明 f(x)=(x−1)n.
设二次型 f(x,y,z)=x2+ty2+z2+2xy−2txz−2yz 的正、负惯性指数都为 1，求 t。
讨论非齐次线性方程组 ⎩⎨⎧kx1+x2+x3=k,x1+kx2+x3=1,x1+x2+kx3=k 何时有唯一解、无穷多解或无解；并在有无穷多解时求通解。
