考研真题

求曲面积分 ${\iint }_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy,$ 其中 $S$ 为曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $x^2+y^2+z^2=2$ 所围成的曲面的表面，取外侧。

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求曲线积分 $I={\oint }_{L}x{e}^{2xy}ds,$ 其中 $L$ 为以 $O(0,0),A(1,0),B(1,1)$ 为顶点的三角形边界。

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由方程 $z\sin y+x{e}^z=1$ 确定隐函数 $z=f(x,y).$ 求 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,0)$ 的全微分。

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求幂级数 ${\sum }_{n=1}^{+\infty }\frac{x^n}{n+1}$ 的收敛域和和函数。

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已知 $f(x)={\int }_1^{x^2}\frac{\sin t}{t}dt.$ 求 ${\int }_0^{1}x(f(x)+1)dx.$

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已知函数 $g(t)=\{\begin{array}{ll}t+2,& t\ge 0,\\ A{t}^3+B{t}^2+Ct+D,& -r<t<0,\\ 0,& t\le -r,\end{array}r>0.$ 若 $g(t)$ 可微： (1) 求 $A,B,C,D$ 的值。 (2) 求导函数 $g^{\prime }(t)$⁠。

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求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right).$

求极限 ${\lim }_{x\to +\infty }\left[x-x^3\ln \left(1+\frac{1}{x^2}\right)\right].$

设 $a>0$⁠，求 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt{a}\sqrt[4]{a}\sqrt[8]{a}\cdots \sqrt[2^n]{a}.$

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求极限 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln \sqrt{x}+{\sin }^{2}x}{x}.$

设 $F$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ 不相似于 $(1,1)$ 元为 $0$ 的方阵，$n>1$⁠。证明：存在 $0\ne a\in F,$ 使得 $A=a{E}_n,$ 其中 $E_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。

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设 $A,B\in M_{m\times n}(F).$ 证明：$(m+n)\times (m+n)$ 型矩阵 $\left(\begin{array}{cc}O& A\\ O& O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O& B\\ O& O\end{array}\right)$ 相似当且仅当 $r(A)=r(B).$

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