考研真题

设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵，$\beta$ 是 $m$ 维实列向量。 1. 证明 $\mathrm{rank}(A^{T}A)=\mathrm{rank}A$⁠； 2. 证明 $A^{T}AX=A^T\beta$ 有解，且任意两个解 $X_1,X_2$ 满足 $A{X}_1=A{X}_2$⁠。

设 $a_1,\dots ,a_n\in F$⁠。在数域 $F$ 上解 $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=0,$ 并在有无穷多解时给出基础解系。

讨论参数 $\lambda ,\mu$ 使方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ x_1+3x_2+5x_3+5x_4=2,\\ -x_2+(\lambda -3)x_3-2x_4=\mu ,\\ x_1+2x_2+\lambda x_3+x_4=0\end{array}$ ...

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在二阶矩阵空间 $M_{2\times 2}$ 上定义线性变换 $L(X)=AXB,$ 其中 $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 3& 1\end{array}\right).$ 求 $L$ 的迹与行列式。

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$\mathrm{rank}A=r$⁠，非齐次线性方程组 $AX=B$ 的解集合为 $S$⁠。证明：$S$ 中存在 $n-r+1$ 个线性无关向量，但任意 $n-r+2$ 个向量线性相关。

求齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}3x_1+2x_2+x_3+3x_4+5x_5=0,\\ 6x_1+4x_2+3x_3+5x_4+7x_5=0,\\ 9x_1+6x_2+5x_3+7x_4+9x_5=0,\\ 3x_1+2x_2+4x_4+8x_5=0\end{array}$ 的一个基础解系。

讨论参数 $a,b$ 使方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1+a{x}_2+x_3=3,\\ x_1+x_2+b{x}_3=2,\\ x_1+x_2+2b{x}_3=3\end{array}$ 有唯一解、无穷多解或无解。

讨论参数 $\lambda$ 使方程组 $\{\begin{array}{l}\lambda x_1+2x_2+3x_3=1,\\ x_1+2\lambda x_2+3x_3=\lambda ,\\ x_1+2x_2+3\lambda x_3=\lambda \end{array}$ 无解、有唯一解或有无穷多解，并写出解。

设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$ 线性无关，并有 ${\beta }_j={\sum }_{i=1}^m{a}_{ij}{\alpha }_i,j=1,\dots ,s,$ 记 $A=(a_{ij}{)}_{m\times s}$⁠。判断并证明： 1. 若 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$ 线性相关，则...

已知 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& a& 0& 0\\ 0& 1& a& 0\\ 0& 0& 1& a\\ a& 0& 0& 1\end{array}\right),\beta =(1,-1,0,0{)}^T,$ 且 $Ax=\beta$ 有无穷多解。求 $a$ 及方程组的通解。

讨论齐次线性方程组 $\{\begin{array}{l}(\lambda -2)x_1-3x_2-2x_3=0,\\ -x_1+(\lambda -8)x_2-2x_3=0,\\ 2x_1+14x_2+(\lambda +3)x_3=0\end{array}$ 何时有非零解，并求通解。

讨论参数 $\lambda$ 使线性方程组 $\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3+x_4=1,\\ x_1+\lambda x_2+x_3+x_4=1,\\ x_1+x_2+\lambda x_3+x_4=1,\\ x_1+x_2+x_3+\lambda x_4=1\end{array}$ ...