考研真题

设 $A\in M_n(\mathbb{C})$⁠，$0<\mathrm{rank}A<n$⁠，且 $\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}{A}^2.$ 证明存在可逆矩阵 $P$ 及可逆矩阵 $B$⁠，使...

设 $A\in M_n(\mathbb{R})$ 的特征值为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$⁠。求分块矩阵 $B=\left(\begin{array}{cc}A& 4I_n\\ I_n& A\end{array}\right)$ 的特征值。

设 $A$ 是 $m$ 阶复矩阵，$B$ 是 $n$ 阶复矩阵，且 $A,B$ 没有公共特征值。证明矩阵方程 $AX=XB$ 只有零解。

设 $A$ 是 $n\times m$ 矩阵，$B$ 是 $m\times n$ 矩阵。若 $I_n-AB$ 可逆，讨论 $I_m-BA$ 的可逆性。

设数域 $P$ 上的 $n$ 阶矩阵满足 $A^2=A$⁠。 1. 用两种方法证明 $A$ 相似于对角矩阵； 2. 证明 $\mathrm{tr}A=\mathrm{rank}A$⁠。

证明两个非齐次线性方程组 $A_{s\times n}X={\beta }_1,B_{t\times n}X={\beta }_2$ 同解的充要条件是以下两类情形之一： 1. $r(A,{\beta }_1)+r(B,{\beta }_2)=r(A)+r(B)+2;$ 2....

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设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times s$ 矩阵。证明：若 $AB=0$⁠，则 $\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B\le n.$ 要求给出三种方法。

设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -1\\ 0& 1& -1& 1\\ 1& 2& 0& -2\end{array}\right).$ 1. 求 $A^{T}A$ 的秩； 2. 求矩阵 $B$⁠，使 $AB=I_3$⁠。

设数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $AB=BA=0,\mathrm{rank}A=n-1.$ 设非零向量 $\alpha ,\beta$ 分别满足 $A\alpha =0$ 与 $A^T\beta =0$⁠。 1. 证明存在 $k\in F$⁠，使...

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设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且它的 $n$ 个特征值均为偶数。证明关于 $X$ 的矩阵方程 $X+AX-X{A}^2=0$ 只有零解。

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设实矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& a\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}4& b\\ 3& 1\end{array}\right).$ 证明： 1. $AX=B$ 有解而 $BY=A$ 无解的充要条件是 $a\ne 2,b=\frac{4}{3}$⁠； 2. $A$ 相似于 $B$...

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证明：对任意可逆复矩阵 $A\in G{L}_n(\mathbb{C})$ 及任意正整数 $k$⁠，矩阵方程 $X^k=A$ 一定有解。

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