考研真题

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵。证明：$AB$ 正定的充要条件为 $AB=BA.$

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵且 $A+B=AB.$ 求 $A-I$ 的逆矩阵，并证明 $AB=BA$⁠。

设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，${\lambda }_n$ 是 $A$ 的最大特征值。证明 ${\lambda }_n={\max }_{0\ne X\in {\mathbb{R}}^n}\frac{X^{T}AX}{X^{T}X}.$

用正交线性替换化二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2-x_3^2+4x_1{x}_3$ 为标准形，并写出所作正交线性替换。

已知 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶实矩阵，对角元 $a_{ii}=a>0,$ 且对每个 $1\le i\le n$⁠， ${\sum }_{j=1}^n(|a_{ij}|+|a_{ji}|)<4a.$ 设二次型 $f=X^{T}AX$⁠。 1. 求 $f$ 的矩阵 $B=(b_{ij})$⁠； 2....

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，$n\ge 2$⁠。证明： $B^{3}A{B}^3$ 正定，当且仅当 $A$ 正定且 $B$ 可逆。

若 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶实正定矩阵，且所有非对角元均小于零，证明 $A^{-1}$ 的所有元素都大于零。

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若 $A$ 是可逆实矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$⁠，使得 $QA$ 为上三角矩阵且对角元全为正数。

求 $n$ 元实二次型 $q(x_1,\dots ,x_n)={\sum }_{1\le i<j\le n}{x}_i{x}_j$ 的负惯性指数。

设 $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$⁠，且 $\mathrm{rank}A=m<n.$ 证明：存在 $(n-m)\times n$ 实矩阵 $B$⁠，使 $\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，并且 $A{B}^T=0$⁠。

设 $\alpha =(1,-1,1,-1{)}^T,\beta =(1,3,2,-1{)}^T.$ 求一个四阶正定矩阵 $A$⁠，使 $A\alpha =\beta$⁠。

设实二次型 $f(x_1,\dots ,x_n)={\sum }_{i=1}^n{x}_i^2+2a{\sum }_{1\le i\le j\le n}{x}_i{x}_j.$ 若它正定，求 $a$ 的范围。