考研真题

设 $A$ 是一个 $m\times n$ 实矩阵。证明： 1. $\mathrm{rank}(A^{T}A)=\mathrm{rank}A$⁠； 2. $A^{T}A$ 半正定，并且 $A^{T}A$ 正定当且仅当 $\mathrm{rank}A=n$⁠。

设 $A$ 为元素全为有理数的 $n$ 阶方阵，且 $\sqrt{3}$ 是 $A$ 的一个特征值。 1. 证明 $-\sqrt{3}$ 也是 $A$ 的特征值； 2. 证明当 $n=3$ 时，存在实可逆矩阵 $P$⁠，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

设 $A,B$ 都是二阶实对称矩阵，且 $\det A<0,\det B<0.$ 证明：存在可逆矩阵 $C$⁠，使 $C^{T}AC=B.$

若 $A$ 是可逆实矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$⁠，使得 $QA$ 为上三角矩阵且对角元全为正数。

设实对称矩阵 $A$ 是二次型 $f$ 的矩阵。证明：$f$ 半正定的充要条件是存在实对称矩阵 $B$⁠，使 $A=B^2.$

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵。证明： $AB=BA$ 的充要条件是 $A,B$ 有 $n$ 个公共的线性无关特征向量。

设 $A$ 为实数域上的 $n$ 阶方阵，列向量为 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$⁠。证明下列命题等价： 1. $A$ 为正交矩阵； 2. ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组规范正交基； 3. 对任意 $X,Y\in {\mathbb{R}}^n$⁠，有...

设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，二次型 $f$ 的矩阵为 $M=\left(\begin{array}{cc}A& B^T\\ B& 0\end{array}\right).$ 1. 证明 $B^T{A}^{-1}B$ 正定； 2. 求 $f$ 的正、负惯性指数。

设 $A$ 是正定矩阵。证明： 1. 存在主对角元均为正数的上三角矩阵 $C$⁠，使 $A=C^{T}C$⁠； 2. 上述分解唯一。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 4& 4\\ 0& 4& 4\\ 0& 0& 4\end{array}\right),p(X)=X^{T}AX.$ 求正交矩阵 $T$⁠，作 $X=TY$⁠，使二次型化为标准形。

1. 证明：实对称矩阵正定的充分必要条件是所有顺序主子式均大于零； 2. 判断矩阵 $A={\left(\frac{1}{i+j-1}\right)}_{n\times n}$ 的正定性。

设 $A,C$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^T& C\end{array}\right)$ 正定。 1. 证明 $C-B^T{A}^{-1}B$ 正定； 2. 证明 $\det M\le \det A\det C.$