考研真题

在上一问条件下，证明集合 $G$ 有限。

设 $G$ 是复数域上一些 $n$ 阶可逆矩阵的集合，且任意不同的 $A,B\in G$ 都有 $|A+B|=0$⁠。令 $X=[x_{ij}]$ 为变量矩阵，$f_A(X)=|X+A|$⁠。证明 $\{f_A:A\in G\}$ 的任意有限子集线性无关。

设实二次型 $f(X)=X^{T}AX$ 满足 $X^{T}AX=0⟺X=0.$ 证明 $f$ 或为正定二次型，或为负定二次型。

设 $A=(a_{ij}),B=(b_{ij})$ 是两个 $n$ 阶方阵。证明矩阵方程 $AX=B$ 有解的充要条件是 $n+1$ 个矩阵 $A,A_1,\dots ,A_n$ 有相同的秩，其中 $A_k$ 是在 $A$ 右侧添上 $B$ 的第 $k$ 列所得的增广矩阵。

设 $f(x)$ 是复数域上的非零 $n$ 次多项式，且 $f^{\prime }(x)$ 的根均非零。若 $f^{\prime }(x)\mid xf(x),$ 证明 $f(x)$ 是一个一次因式的 $n$ 次方幂。

已知 $a_1,\dots ,a_{n-1}$ 两两不同，令 $f(x)=\det \left(\begin{array}{ccccc}1& x& x^2& \cdots & x^{n-1}\\ 1& a_1& a_1^2& \cdots & a_1^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& a_{n-1}& a_{n-1}^2& \cdots & a_{n-1}^{n-1}\end{array}\right).$ ...

已知 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，写出欧氏空间上的 Cauchy--Schwarz 不等式的一般形式。

设 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right),$ 求 $A^{2024}$⁠。

设 $\sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间上的线性变换，且 ${\sigma }^2=0$⁠。求 $\dim \mathrm{Im}\sigma$ 的上界。

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$ 求所有与 $A$ 可交换的三阶方阵组成的线性空间的维数。

求实数 $t$ 的取值范围，使二次型 $f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2t{x}_1{x}_2-2t{x}_1{x}_3+2t{x}_2{x}_3$ 正定。

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设 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$ 为四阶矩阵，$|A|=0$⁠，代数余子式 $A_{12}\ne 0$⁠。求方程 $A^{\ast }X=0$ 的一组基础解系。