考研真题

计算题。 (1) 求极限 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\ln n-{\sum }_{k=1}^n\frac{\ln k}{n}\right).$ (2) 求极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^x-\cos \frac{x}{2}}{x\left(\sin x-\sin \frac{x}{2}\right)}.$ (3)...

解方程组 $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-4x-2y+\frac{2}{e^t-1},\\ y^{\prime }=6x+3y-\frac{3}{e^t-1},\end{array}$ 其中 $x,y$ 是关于 $t$ 的函数。

已知 $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=f(x)$ 的有界解为 $\phi (x)$⁠。证明：若 $f$ 是周期为 $T$ 的连续函数，则 $\phi (x)$ 是周期为 $T$ 的连续函数。

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已知 $y^{\prime }+y=f(x),$ $f(x)$ 连续且 $|f(x)|\le M.$ 证明：$y=y(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上存在有界解，并求出该解。

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解方程 $y=x\left(y^{\prime }+\sqrt{1+y^{\prime 2}}\right).$

解方程 $y^{3}dx+2(x^2-x{y}^2)dy=0,y(1)=1.$

设 $\mathcal{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 是 $V$ 中一组基，满足...

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设 $V$ 是欧氏空间，$\alpha$ 为非零向量，向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m\in V$ 满足 $(\alpha ,{\alpha }_i)>0(i=1,2,\dots ,m),$ 且...

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已知对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right),$ 其中 $A_{11}$ 是方阵，证明以下条件等价： (1) $A$ 正定。 (2) $A_{11}$ 与 $A_{22}-A_{12}^T{A}_{11}^{-1}{A}_{12}$ 都正定。...

已知 $n$ 阶矩阵 $A$⁠。 (1) 证明：若 $r(A)=1$⁠，则 $A$ 可以表示成 $A=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ 的形式。 (2) 证明：若 $r(A)=1$⁠，则存在常数 $k$⁠，使得...

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已知线性方程组 $\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=-3,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=-3,\\ x_1+x_2+\lambda x_3=-3.\end{array}$ 当 $\lambda$ 为何值时，方程组无解、有解？有解时求通解。

已知球面 $\Gamma :x^2+y^2+z^2=a^2(a>0),$ 球面 $\Sigma$ 的球心在 $\Gamma$ 上，半径为 $R$⁠。当 $R$ 为何值时，球面 $\Sigma$ 位于 $\Gamma$ 内的面积取最大值？并求出最大面积。