考研真题

求 ${\lim }_{x\to 0}(\cos x{)}^{x^{-2}}.$

求 ${\lim }_{n\to \infty }\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}\right).$

求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln \left(e^{\tan x}+\sqrt[3]{1-\cos x}\right)+\tan x}{\arcsin \left(2023\sqrt[3]{1-\cos x}\right)}.$

求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\int }_0^{n\pi }x|\sin x|dx}{n(n+1)}.$

求 ${\lim }_{x\to 0}\left(\frac{-\cot x}{e^{-x}}+\frac{1}{e^{-2x}{\sin }^{2}x}-\frac{1}{x^2}\right).$

证明存在满足递推关系且 $a_1\ne 1$ 的数列。

若 $a_1\ne 1$⁠，证明 $a_n$ 两两不等。

在上题条件下，证明 $\{a_n\}$ 极限存在并求极限。

数列 $\{a_n\}$ 满足 $(2-a_n)a_{n+1}=1.$ 证明存在正整数 $k$⁠，使 $a_k\le 1$⁠。

设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上可导，且存在正数 $A<B$ 使 $A<|f^{\prime }(x)|<B.$ 证明 $F(x,y)=f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上一致连续。

确定常数 $a,b$⁠，使 ${\lim }_{x\to 0}\frac{ax\cos x-b\sin x}{x^3}$ 存在，并求该极限。

求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos (\sin x)-e^{\cos x-1}}{{\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x}.$