数学专业考研真题，按学校、年份和知识点标签整理。
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设 D={(x,y)∣x2+y2≤1},α2+β2=1. 计算 ∬D(1−αx+βy)2+(βx+αy)2dxdy.
计算 limt→0+t41∭x2+y2+z2≤t2f(x2+y2+z2)dxdydz, 其中 f(0)=0、f′(0)=2。
讨论广义二重积分 ∬{(x,y)∈R2∣x≥1,y≥1}(x2+y2)2x2−y2dxdy 的敛散性。
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设 B1 为单位圆盘，a,b∈R 且 a2+b2>1。证明 f(a,b)=∬B1ln[(x1+a)2+(x2−b)2]dx1dx2 只依赖于 a2+b2，并求其值。
计算由球面 x2+y2+z2=4a2 与柱面 x2+y2=2ax 所围公共立体的体积。
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设 r>0，计算球面 x2+y2+z2=r2 与圆柱面 x2+y2=rx 所围公共区域的体积。
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计算 ∭Ω(x2+y2+z2)dV, 其中 1≤x2+y2+z2≤4,z≥x2+y2.
设 E⊆R2 是非空开集，f:E→R 且 f∈C2(E)。证明 Schwarz 定理：对任意 (a,b)∈E，有 fxy(a,b)=fyx(a,b).
求三重积分 I=∭Ωx2x2+y2dxdydz, 其中 Ω 是由锥面 z=x2+y2 与旋转抛物面 z=x2+y2 围成的有界区域。
设 f(x,y) 在 [0,π]×[0,π] 上连续且恒取正值，求 limn→∞∬0≤x≤π,0≤y≤π(sinx)[f(x,y)]1/ndxdy.
