考研真题

设五个未知量的矩阵方程 $AX=b$ 的系数矩阵秩为 $3$⁠，且 ${\eta }_1=(1,1,1,1,1{)}^T,{\eta }_2=(1,2,3,4,5{)}^T,{\eta }_3=(1,0,-3,-2,-3{)}^T$ 都是方程组的解。 检验 ${\eta }_1+{\eta }_2+{\eta }_3$ 与...

设五个未知量的矩阵方程 $AX=b$ 的系数矩阵秩为 $3$⁠，且 ${\eta }_1=(1,1,1,1,1{)}^T,{\eta }_2=(1,2,3,4,5{)}^T,{\eta }_3=(1,0,-3,-2,-3{)}^T$ 都是方程组的解。 证明 $b$ 不是零向量。

设 $f(x)=2x^3-3x+4,g(x)=x^2-2x+3.$ 求 $u(x),v(x)$⁠，使 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x)).$

设 $f(x)=2x^3-3x+4,g(x)=x^2-2x+3.$ 求 $(f(x),g(x))$⁠。

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$ 证明：$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 可微。

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$ 证明：$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 的偏导数不连续。

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$ 证明：$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 存在偏导数。

设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$ 证明：$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 连续。

设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续，且广义积分 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 收敛。证明 ${\lim }_{\lambda \to 0^{+}}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-\lambda x}f(x)dx={\int }_0^{+\infty }f(x)dx.$

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证明函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{nx}{1+n^5{x}^2}$ 在 $[0,+\infty )$ 上一致收敛。

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且单调增加，证明 ${\int }_a^{b}xf(x)dx\ge \frac{a+b}{2}{\int }_a^{b}f(x)dx.$

设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty )$ 上的单调增加函数，且存在极限 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=+\infty ,{\lim }_{n\to \infty }f(a_n)=A.$ 证明 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A.$