保研夏令营真题

求函数 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{\left(x-\frac{1}{2n}\right)}^n$ 的定义域 $D$⁠，并讨论其在定义域内的连续性。

设函数 $f(x)\in C[-1,1]$⁠，证明： ${\lim }_{h\to 0^{+}}{\int }_{-1}^1\frac{h}{h^2+x^2}f(x)\mathrm{d}x=\pi f(0).$

讨论反常积分 ${\int }_1^{+\infty }\sin (x^2-2x)\mathrm{d}x$ 的收敛性；若收敛，请指出是绝对收敛还是条件收敛。

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设数列 $u_n>0$⁠，且 ${\lim }_{n\to \infty }n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right)=\frac{1}{2}.$ 证明：级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$ 收敛。