保研夏令营真题

(10 分)【仅限数学专业】设 $f(x)\in L^1(\mathbb{R})$⁠，正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛。证明： ${\lim }_{n\to \infty }f\left(\frac{x}{a_n}\right)=0,\text{a.e. }x\in \mathbb{R}.$

(10 分)设 $V$ 是域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间，线性变换 $\phi :V\to V$ 满足 ${\phi }^n=0$⁠，${\phi }^{n-1}\ne 0$⁠。证明： (1)存在 $\alpha \in V$⁠，使得 $\alpha ,\phi (\alpha ),\dots ,{\phi }^{n-1}(\alpha )$...

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(15 分)若 $A$ 为 3 阶方阵，满足 $|A|=18$⁠，$3A+A^{\ast }=15I_3$⁠。 (1)求 $A$ 的极小多项式。 (2)求 $A$ 的 Jordan 标准型。

(15 分)设矩阵 $A\in {\mathbb{K}}^{m\times s}$⁠，$B\in {\mathbb{K}}^{s\times n}$⁠，$r(B)=s$⁠。证明： (1)存在 $C\in {\mathbb{K}}^{n\times s}$⁠，使得 $BC=I_s$⁠。 (2)$r(AB)=r(A)$⁠。

(10 分)若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，其中 $a_n>0$⁠，$0<\alpha ,\beta <1$⁠，$\alpha +\beta >1$⁠，证明级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n^{\alpha }}{n^{\beta }}$ 收敛。

(10 分)若 $f(x)\in C^2[0,1]$⁠，$f^{\prime }(0)=0$⁠，$|f^{\prime \prime }(x)|\le |f(x)-f(0)|$⁠。证明：$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上为常值函数。

(10 分)若 $f\in C^1[a,b]$⁠，$f(a)=0$⁠。证明： ${\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x\le \frac{(b-a{)}^2}{2}{\int }_a^b[f^{\prime }(x){]}^2\mathrm{d}x-\frac{1}{2}{\int }_a^b[f^{\prime }(x){]}^2(x-a{)}^2\mathrm{d}x.$

(10 分)已知 $f(x)\in C[a,b]$⁠，且有 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x=0.$ 证明：在 $(a,b)$ 上至少存在两点 $x_1,x_2$⁠，使得 $f(x_1)=f(x_2)=0$⁠。

证明：任何实可逆矩阵都可以分解为一个正定矩阵和一个正交矩阵的乘积。

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设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_1,V_2$ 是 $V$ 的两个子空间，且 $\dim V_1=\dim V_2$⁠。证明：存在 $V$ 的一个子空间 $W$⁠，使得 $V=V_1\oplus W=V_2\oplus W.$

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设 $A\in M_n(\mathbb{C})$⁠，多项式 $f(x),g(x)\in \mathbb{C}[x]$⁠，且 $(f(x),g(x))=1$⁠。证明： $\mathrm{rank}f(A)+\mathrm{rank}g(A)-\mathrm{rank}(f(A)g(A))=n.$

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设 $10$ 阶方阵 $A$ 的每行元素之和均为 $4$⁠，并且 $|A-2I_{10}|=0,r(A)=2,$ 求 $|A+I_{10}|$ 的值。

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