高等代数

设矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$⁠，其中 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，且 ${\alpha }_1=2{\alpha }_2+{\alpha }_3-{\alpha }_4,\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4.$ ...

设 $\phi$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，$f(x),g(x)$ 是 $\mathbb{F}$ 上的互素多项式，且 $f(\phi )g(\phi )=0.$ 证明：...

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判断矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$ 是否可对角化。

记 ${\mathbb{R}}^{+}=\{a\in \mathbb{R}\mid a>0\},$ 定义加法和数乘为 $a\oplus b=ab,k\odot a=a^k.$ 此时 ${\mathbb{R}}^{+}$ 构成 $\mathbb{R}$ 上的线性空间，试求该空间的维数和一组基。

已知 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵且 $r(A)=r$⁠，证明：存在 $m\times r$ 矩阵 $B$ 和 $r\times n$ 矩阵 $C$⁠，使得 $A=BC,r(B)=r(C)=r.$

设矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4),$ 其中 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 线性无关，且 ${\alpha }_1=2{\alpha }_2-3{\alpha }_3,\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3+{\alpha }_4.$ ...