$\frac{1}{n^x}$固定$x$后随$n$单调递减，且$\frac{1}{n^x}$一致有界$|\frac{1}{n^x}|\leq 1$⁠，而$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是数项级数与x无关且收敛，因此$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$一致收敛。由Abel判别法知$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^x}$在$[0,+\infty)$上一致收敛.