在开区间 $(a,b)$ 上，凸函数一定是连续的。

证明思路：
设 $f$ 是 $(a,b)$ 上的凸函数。对任意 $x_0 \in (a,b)$⁠，取 $h>0$ 足够小，使 $x_0 \pm h \in (a,b)$⁠。由凸性可得

当 $h \to 0^+$ 时，左端单调递增且有上界，右端单调递减且有下界，故左右导数均存在且有限。由此可推出 $f$ 在 $x_0$ 处 Lipschitz，从而连续。

与闭区间的区别：
闭区间 $[a,b]$ 上凸函数在端点处可能不连续，如你看到的反例。但开区间内每点都有双侧邻域，凸性足以保证连续性。