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题目
首页考研真题厦门大学 2025 高等代数 第2题
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P-001578中等Lv.1考研厦门大学高等代数2025考研伴随矩阵矩阵方程对角矩阵
厦门大学 2025 高等代数 第2题
来源：kaoyan-final-20260712:2025-math-major-exams::厦门大学::2025::高等代数::2 | SOURCE_MATERIALS/2025年数学专业考研真题.pdf | pages 43
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考研真题
题目正文

设三阶方阵满足

A∗=(100090001),∣A∣>0,A^*=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&9&0\\0&0&1\end{pmatrix}, \qquad |A|>0,A∗=​100​090​001​​,∣A∣>0,

且

ABA−1=BA−1+2I.ABA^{-1}=BA^{-1}+2I.ABA−1=BA−1+2I.

求 BBB⁠。

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参考答案

AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/12 10:22题目评分：暂无
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AMTOPALv.4@admin2026/07/15 09:55

首先∣A∗∣=∣A∣2=9,∣A∣=3|A^{*}|=|A|^{2}=9,|A|=3∣A∗∣=∣A∣2=9,∣A∣=3,故A−1=A∗∣A∣=13A∗A^{-1}=\frac{A^{*}}{|A|}=\frac{1}{3}A^{*}A−1=∣A∣A∗​=31​A∗.

由ABA−1=BA−1+2IABA^{-1}=BA^{-1}+2IABA−1=BA−1+2I⁠，知BA−1=A−1BA−1+2A−1BA^{-1}=A^{-1}BA^{-1}+2A^{-1}BA−1=A−1BA−1+2A−1⁠，因此B=A−1B+2I,(I−A−1)B=2IB=A^{-1}B+2I,(I-A^{-1})B=2IB=A−1B+2I,(I−A−1)B=2I,B=2(I−A−1)−1B=2(I-A^{-1})^{-1}B=2(I−A−1)−1.经计算，得到

B=diag(3,−1,3)B=\rm{diag}(3,-1,3)B=diag(3,−1,3)
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