由$f$在$[a,b]$连续，故有界，设为$M>0$⁠，首先使用数学归纳法，证明$|f_{n+1}(x)|\leq \frac{M}{n!}|b-a|^n$. 首先$n=0$时成立，假设$n\leq k-1$时成立，当$n=k$时，

归纳成立. 故$|f_{n+1}(x)|\leq \frac{M}{n!}(b-a)^n$⁠，因此$\lim_{n\to\infty}\rm{sup}_{x\in[a,b]}|f_{n+1}(x)-0|$=0，故$f_{n}(x)$在$[a,b]$上一致收敛. 且收敛函数为0.