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题目
首页考研真题厦门大学 2023 高等代数 例题2.162
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P-000429中等Lv.1考研2023考研厦门大学高等代数线性函数核空间之和维数公式
厦门大学 2023 高等代数 例题2.162
来源：kaoyan-final-20260712:2023-classified::2.6 线性空间与线性映射::例题2.162 | SOURCE_MATERIALS/2023年名校数学专业考研真题分类.pdf | pages 57
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考研真题
题目正文

设 VVV 为复数域上的 nnn 维线性空间，f1,f2:V→Cf_1,f_2:V\to\mathbb Cf1​,f2​:V→C 是非零线性函数，且不存在 0≠c∈C0\ne c\in\mathbb C0=c∈C 使 f1=cf2f_1=cf_2f1​=cf2​⁠。证明：任意 α∈V\alpha\in Vα∈V 都可写为

α=α1+α2,\alpha=\alpha_1+\alpha_2,α=α1​+α2​,

使

f1(α)=f1(α2),f2(α)=f2(α1).f_1(\alpha)=f_1(\alpha_2), \qquad f_2(\alpha)=f_2(\alpha_1).f1​(α)=f1​(α2​),f2​(α)=f2​(α1​).

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参考答案

AMTOPA最近修改：AMTOPA · 2026/07/12 10:22题目评分：暂无
评论

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AMTOPALv.4@admin2026/07/18 08:21

首先，对任意的z∈Cz\in\mathbb{C}z∈C⁠，都存在v∈Vv\in Vv∈V⁠，使得z=f(zf(v)v)z=f\left(\frac{z}{f(v)}v\right)z=f(f(v)z​v)⁠，故fif_ifi​为满射，因此dim Im f1=dim Im f2=1\mathrm{dim\ Im}\ f_1=\mathrm{dim\ Im}\ f_2=1dim Im f1​=dim Im f2​=1. 故

dim Ker f1=dim Ker f2=n−1\mathrm{dim\ Ker}\ f_1=\mathrm{dim\ Ker}\ f_2 =n-1dim Ker f1​=dim Ker f2​=n−1

由于f1f_1f1​与f2f_2f2​线性无关，因此dim Ker(f1∩f2)=n−2\mathrm{dim\ Ker}(f_1\cap f_2)=n-2dim Ker(f1​∩f2​)=n−2.

由

dim Ker f1+dim Ker f2=dim (Ker f1∩Ker f2)+dim (Ker f1+Ker f2)\mathrm{dim\ Ker}\ f_1+\mathrm{dim\ Ker}\ f_2=\mathrm{dim}\ (\mathrm{Ker}\ f_1\cap \mathrm{Ker}\ f_2)+\mathrm{dim}\ (\mathrm{Ker}\ f_1+ \mathrm{Ker}\ f_2)dim Ker f1​+dim Ker f2​=dim (Ker f1​∩Ker f2​)+dim (Ker f1​+Ker f2​)

知dim (Ker f1+Ker f2)=n\mathrm{dim}\ (\mathrm{Ker}\ f_1+ \mathrm{Ker}\ f_2)=ndim (Ker f1​+Ker f2​)=n. 故V=Ker f1+Ker f2V=\mathrm{Ker}\ f_1+ \mathrm{Ker}\ f_2V=Ker f1​+Ker f2​.

故对任意的α\alphaα⁠，存在α1,α2\alpha_1,\alpha_2α1​,α2​⁠，α1∈Ker f1,α2∈Ker f2\alpha_1\in\mathrm{Ker}\ f_1,\alpha_2\in \mathrm{Ker}\ f_2α1​∈Ker f1​,α2​∈Ker f2​⁠，且

f1(α)=f1(α1+α2)=f1(α1)+f1(α2)=f1(α2)f2(α)=f2(α1+α2)=f2(α1)+f2(α2)=f2(α1)f_{1}(\alpha)=f_1(\alpha_1+\alpha_2)=f_1(\alpha_1)+f_1(\alpha_2)=f_1(\alpha_2)\\ f_{2}(\alpha)=f_2(\alpha_1+\alpha_2)=f_2(\alpha_1)+f_2(\alpha_2)=f_2(\alpha_1)f1​(α)=f1​(α1​+α2​)=f1​(α1​)+f1​(α2​)=f1​(α2​)f2​(α)=f2​(α1​+α2​)=f2​(α1​)+f2​(α2​)=f2​(α1​)
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